2025/2026
Квантование матричных групп
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
72
Программа дисциплины
Аннотация
Теория квантовых групп возникла в 80-е годы прошлого века в процессе осмысления математических структур, ответственных за свойство интегрируемости в моделях квантовой механики и статистической физики. В узком смысле этого термина {\em квантовые группы} --- это квантованные (т.е., специальным образом деформированные) универсальные обертывающие алгебр Ли. Обилие имеющихся на них алгебраических процедур: коумножение, коединица, антипод, квазитреугольность и т. д., делают изучение квантовых групп непростой, но увлекательной задачей, приводящей к открытию новых алгебраических понятий и новых математических взаимосвязей. В более широком смысле к теории квантовых групп относят изучение обширного семейства связанных с квантовыми группами алгебр, а также их приложений в топологии, некоммутативной геометрии и в теории интегрируемых систем.
Настоящий курс представляет авторский взгляд на теорию квантования алгебр функций на матричных группах и алгебрах, а также на квантование дифференциального исчисления на них. Мы начнем с краткого обсуждения различных скобок Пуассона на пространствах функций на группах Ли, и построим первые примеры некоммутативных ассоциативных алгебр, являющихся квантованием соответствующих пуассоновых структур. Затем мы проясним роль специальных (так называемых, R-матричных) представлений группы кос в процессе квантования, и обсудим подробней семейства {\em квантовых матричных алгебр}, связанных с R-матрицами $GL(m)$ типа и их суперсимметричными обобщениями. Вводя в рассмотрение q-аналоги симметрических функций Шура, мы докажем квантовый аналог теоремы Гамильтона-Кэли и определим понятие спектра квантовой матрицы.
Во второй части курса мы обсудим теорию представлений специального семейства квантовых матричных алгебр, так называемых, {\em алгебр уравнения отражений}. Эти алгебры --- близкие родственники квантовых групп. С геометрической точки зрения они являются квантованием алгебр инвариантных векторных полей на группах Ли. В заключение курса мы обсудим квантование алгебры всех (не только инвариантных) дифференциальных операторов на группе Ли. В теории квантовых групп эта конструкция носит название гейзенбергового дубля.
Этот курс является естественным продолжением и существенно опирается на материалы курса {\em “Группы кос, алгебры Гекке и инварианты зацеплений”}, читаемого в осеннем семестре.
Цель освоения дисциплины
- Знакомство с основными свойствами квантовых матричных алгебр: алгебраическая структура порождающих соотношений, характеристическая подалгебра и наборы ее генераторов, матричное тождество Гамильтона-Кэли, основы теории представлений.
Планируемые результаты обучения
- Изучение и практические навыки работы со скобками Пуассона-Ли и квадратичной скобкой Семенова-Тянь-Шанского. Умение доказывать совместность этих скобок на дуальном пространстве к алгебре Ли gl(n), квантование порожденного ими пучка скобок Пуассона --- алгебра уравнения отражений.
- Освоение аксиоматики алгебр Хопфа, уяснение смысла ко-операций для теории представлений.
- Освоение методов построения центра алгебры уравнения отражений. Изучение свойств симметрических функций, билинейных соотношений, матричного тождества Гамильтона-Кэли для квантовой матрицы. Спектральное расширение центра алгебры уравнения отражений.
- Построение представления в базовом пространстве. Изучение структуры твистованной биалгебры в алгебре уравнения отражений. Освоение категории конечномерных представлений (категорные твисты, произведение представлений, разложение на неприводимые).
Содержание учебной дисциплины
- Квантование пуассоновой алгебры.
- Алгебра функций на двойственном пространстве к алгебре Ли gl(n).
- Понятие об алгебрах Хопфа.
- Алгебра функций на группе и ее квантование.
- Структура алгебры уравнения отражений.
- Теория конечномерных разложимых представлений алгебры уравнения отражений GL(n) типа.
Промежуточная аттестация
- 2025/2026 4th module0.25 * Листки с задачами + 0.25 * Листки с задачами + 0.5 * Экзамен
