2025/2026
Научно-исследовательский семинар "Случайные матрицы, случайные процессы, интегрируемые системы"
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Поволоцкий Александр Маркович
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
72
Программа дисциплины
Аннотация
В последние годы обнаружились неожиданные связи между, на первый взгляд, совершенно разными задачами математики и физики. С математической стороны это комбинаторные и вероятностные задачи о системах с большим числом степеней свободы: описание собственных значений матриц со случайными элементами, статистика случайных диаграмм Юнга, замощение различных областей плоскости доминошками или ромбиками, перечисление непересекающихся путей на решётках. С физической стороны это задачи о распространении границ разделов между средами, потоках взаимодействующих частиц, полимерах в неупорядоченных средах и\;т.\,д. Ключевое явление здесь\Т «интегрируемость», влекущая множество красивых и точных математических результатов, столь же общезначимых, как закон больших чисел или центральная предельная теорема. Рассматривая наши случайные системы издалека, мы обнаруживаем, что они имеют совершенно неслучайные предельные формы, случайные отклонения от которых описываются небольшим числом универсальных вероятностных распределений, совершенно не зависящих от деталей исходных систем. Слушатели познакомятся с очерченным кругом вопросов и узнают о последних достижениях в этой области.
Цель освоения дисциплины
- формирование представления о современных связях между комбинаторными, вероятностными и физическими задачами, связанными с интегрируемостью и предельными формами, а также ознакомление с универсальными вероятностными распределениями и последними достижениями в этой области
Планируемые результаты обучения
- знание основных понятий интегрируемых систем, предельных форм и универсальных распределений
- умение анализировать случайные системы, выделять универсальные закономерности и применять методы интегрируемости
Содержание учебной дисциплины
- Распределение собственных значений вигнеровских матриц. Полукруглый закон Вигнера. Метод моментов.
- Распределение собственных значений ковариционных выборочных матриц. Закон Пастура – Мар- ченко. Метод распределения Стильтьеса.
- Инвариантные матричные ансамбли
- Основы теории детерминантных процессов.
- Определители Фредгольма
- Метод ортогональных многочленов
- Универсальные распределения: процессы синус, Эйри и Бесселя. Распределения Трейси Уидома.
- Построение корреляционных ядер в ортогональном и симплектическом ансамблях.
- Теорема Карлина – Макгрегора. Построение расширенных процессов в задачах о непересекающих- ся броуновских мостах.
- Одна задача с разными лицами: рост поверхностей, частицы с отталкиванием, задача о времени перколяции последнего достижения и задача о максимальной возрастающей подпоследователь- ности случайной перестановки. Соответсвие Робинсона – Шенстеда – Кнута
- Теорема Гесселя – Виенно о непересекающихся путях. Подсчет пар таблиц Юнга и процесс Шура.
