2025/2026
Геометрическое введение в алгебраическую геометрию
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Городенцев Алексей Львович
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
"Алгебраическая геометрия изучает фигуры, локально устроенные как множество решенийсистемы полиномиальных уравнений в аффинном пространстве, и служит мостом между точным, носкудным языком алгебраических формул и бесконечно богатым, но трудно выражаемым в словах миром геометрических образов. Поэтому алгебраическая геометрия занимает центральное место в самыхразных областях математики и математической физики, являясь наиболее эффективным и красивыминструментом для установления нетривиальных связей между кажущимися далёкими друг от другаявлениями. Настоящий курс является геометрическим введением в предмет и знакомит слушателейс основными геометрическими конструкциями, а также алгеброй,которая за ними стоит."
Содержание учебной дисциплины
- Проективные пространства и проективные квадрики. Пространства квадрик. Прямые, коники, PGL 2 , кривые Веронезе, рациональные кривые. Плоские кубические кривые.
- Многообразия Грассмана, Веронезе и Сегре. Проективные морфизмы, связанные с тензорной алгеброй.
- Доза коммутативной алгебры: целые элементы в расширениях колец, строение конечно порождён- ных алгебр над полем, базисы трансцендентности, теоремы Гильберта о нулях и базисе идеала.
- Словарик «Коммутативная алгебра – Аффинная алгебраическая геометрия». Спектры, гомоморфизмы поднятия, топология Зарисского, геометрические свойства гомоморфизмов алгебр.
- Алгебраические многообразия. Отделимость. Свойства проективных многообразий, собственность. Рациональные функции и рациональные морфизмы.
- Размерность. Размерности подмногообразий и слоёв морфизмов. Вычисление размерностей про- ективных многообразий.
- Векторные расслоения и пучки их сечений. Векторные расслоения на проективной прямой. Ли- нейные системы, обратимые пучки и дивизоры, группа Пикара.
- Если позволит время: (ко)касательные и (ко)нормальные пространства и конусы, гладкость, раздутие. Точная последовательность Эйлера на грассманиане.
Элементы контроля
- итоговый письменный экзамен
- самостоятельное решение задачЗадания делятся на «обязательные» и помеченные звёздочкой «дополнительные», решение которых положительно сказывается на итоговой оценке, но не обязательно для получения максимального балла. Задачи можно решать в любом порядке в течение всего семестра, вплоть до начала зимней сессии. Решения задач необходимо записывать. Сдавать решённые задачи можно только специально авторизованным для этого преподавателям.
Промежуточная аттестация
- 2025/2026 2nd moduleНа итоговую отметку за этот курс влияют доли L и E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L) и на итоговом письменном экзамене (E), который состоится в зимнюю сессию после второго модуля. Обе доли вычисляются в процентах от общего числа заданных в каждом из видов обязательных задач по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле: min(150,L+E)/15 Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из двух видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 150 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
