Группы кос, алгебры Гекке и инварианты узлов

2025/2026

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Пятов Павел Николаевич, Сапонов Павел Алексеевич

Язык: русский

Контактные часы: 60

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Изучение группы кос были инициировано Эмилем Артином примерно сто лет назад. С тех пор исследования кос привели к ряду замечательных наблюдений и открытий в алгебре и комбинаторике, топологии и математической физике. В этом курсе мы обсудим несколько разделов из теории групп кос, Мы начнем с обсуждения эквивалентности геометрического и алгебраического (артинова) представлений группы кос. Затем, рассмотрим замечательную серию связанных с группой кос конечномерных алгебр Гекке. Эти алгебры является “деформированной” версией (групповой алгебры) симметрических групп. Мы построим классификацию неприводимых представлений алгебр Гекке, воспользовавшись методом, аналогичным подходу Вершика-Окунькова в теории представлений симметрических групп. В заключительной части курса мы займемся изучением семейства представлений групп кос и алгебр Гекке, называемых R-матричными. Эти представления применяются в построении обширного семейства инвариантов узлов и зацеплений – инвариантов Решетихина-Тураева. С R-матричными представлениями также связано явление двойственности между представлениями непрерывных и дискретных групп – двойственности Шура-Вейля. Мы обсудим эти два приложения R-матричных представлений.

Цель освоения дисциплины

Освоение геометрического и алгебраического (артинова) подхода к группам кос.
Ознакомление слушателей курса со структурной теорией и теорией представлений конечномерных полупростых ассоциативных алгебр, в первую очередь, фактор алгебр групповой алгебры группы кос: алгебр Ивахори-Гекке и Бирман-Мураками-Венцля.
Изучение семейства R-матричных представлений группы кос, освоение R-матричной техники, применение ее в построении семейства инвариантов узлов и зацеплений - инвариантов Решетихина-Тураева.

Планируемые результаты обучения

Знакомство со свойствами (строго) косо-обратимых R-матриц, и с операцией R-матричного следа. Освоение R-матричной техники и метода вычисления инвариантов зацеплений с использованием R-матричных представлений алгебр Ивахори-Гекке.
Освоение артинова (алгебраического) подхода к описанию групп кос в терминах генераторов и соотношений. Изучение различных наборов генераторов группы кос, описание центра группы кос, ознакомление с коммутативным набором элементов Юциса-Мэрфи.
Освоение критерия полупростоты алгебр Ивахори-Гекке и классификации их неприводимых представлений. Выработка навыков практической работы с неприводимыми представлениями алгебры Гекке в базисе, диагонализующем операторы Юциса-Мэрфи.
Знакомство с различными R-матричными представлениями алгебр Ивахори-Гекке и группы кос. Изучение серий R-матриц Дринфельда-Джимбо типа GL(n), Кулиша-Склянина типа GL(m|n). Знакомство с R-матричными представлениями алгебр Бирман-Мураками-Венцля типов О(n) и Sp(2n). Знакомство с R-матрицами, отвечающими циклическим представлениям квантовой группы Uq(sl(2))
Знакомство со свойствами (строго) косо-обратимых R-матриц, и с операцией R-матричного следа. Освоение R-матричной техники и метода вычисления инвариантов зацеплений с использованием R-матричных представлений алгебр Ивахори-Гекке и Бирман-Мураками-Венцля. Конструкция Решетихина-Тураева построения инвариантов ориентированных узлов и зацеплений

Содержание учебной дисциплины

Группа кос, ее геометрическое и алгебраическое представления.
Классификация неприводимых представлений алгебр Ивахори–Гекке.
R-матричные представления группы кос
R-след в R-матричных представлениях группы кос и инварианты Решетихина-Тураева

Элементы контроля

Листок 1. Группа кос
Листок 2. Конечномерные фактор алгебры групповой алгебры группы кос.
Листок 3. R-матрицы и инварианты зацеплений

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
По темам курса выдается 3 листка с задачами для самостоятельного решения. Задания листков оцениваются по 10-балльной шкале. Для получения оценки 10 достаточно решить примерно 80% задач листка. Накопленная оценка Онакоп — среднее арифметическое оценок за все листки. Если Онакоп ≥ 7, итоговая оценка Оитог получается округлением Онакоп до целого по обычному правилу. В случае, если Онакоп < 7, студент должен сдать экзамен, при этом итоговая оценкао пределяется по формуле Оитог = 0.5(Онакоп + Оэкз)

Список литературы

Авторы

Иконописцева Юлия Вахтанговна
Пятов Павел Николаевич
Сапонов Павел Алексеевич

Программа дисциплины