2025/2026
Уравнения в частных производных
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Преподаватели:
Сивкин Владимир Николаевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
"Окружающие нас физические явления, все, что мы видим, слышим, осязаем, описывается уравнениями в частных производных. Более точно это означает, что математические модели таких физических процессов, как колебания струны, волны на поверхности воды, звук и электромагнитные колебания, в частности, свет, распространение тепла и диффузия, а также модели многих других явлений природы описываются уравнениями математической физики, которые, как правило, являются уравнениями в частных производных.Наш курс направлен на то, чтобы изучить постановки основных задач для важнейших уравнений математической физики (волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа), а также дать введение в некоторые другие разделы уравнений в частных производных.Теория УрЧП тесно связана с другими разделами математики: с функциональным анализом и теорией функций, топологией, алгеброй, геометрией, комплексным анализом и другими. УрЧП используют основные понятия и методы этих областей математики и, в свою очередь, влияют на их проблематику и направление исследований."
Цель освоения дисциплины
- Знакомство с основными типами уравнений в частных производных, владение стандартными методами их решения
Планируемые результаты обучения
- Сведение физических задач к уравнениям в частных производных
- Определение типа уравнения в частных производных
- Применение стандартных методов исследования уравнения
- Знание качественных свойств решений
Содержание учебной дисциплины
- Физические задачи, приводящие к УрЧП.
- УрЧП первого порядка. Метод характеристик.
- Основные типы линейных УрЧП второго порядка.
- Постановка основных краевых задач. Теорема Коши – Ковалевской.
- Решение уравнения колебаний струны, формула Даламбера. Метод Фурье решения волновых урав- нений. Обобщенные решения уравнения колебаний струны.
- Задача Штурма – Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций этой задачи.
- Решение уравнение теплопроводности методом Фурье и с помощью преобразования Фурье. Фор- мула Пуассона. Принцип максимума.
- Решение задачи Коши для волнового уравнения. Формулы Кирхгофа и Пуассона. Распространение волн.
- Эллиптические уравнения. Формулы Грина. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Метод функций Грина решения краевых задач для эллиптических уравнений.
- Гармонические функции и их свойства. Принцип максимума. Теорема Лиувилля.
- Обобщенные производные и пространства Соболева. Неравенство Фридрихса. Теоремы вложения. Существование решений краевых задач для эллиптических уравнений. Вариационный метод решения эллиптических уравнений.
