2025/2026
Стохастический анализ и приложения
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Преподаватели:
Колесников Александр Викторович
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Курс представляет собой введение в стохастический анализ. Слушатели познакомятся с техникой стохастического интегрирования и основными результатами теории диффузионных процессов. В курсе также будут затронуты приложения: элементы финансовой математики (опционы, формула Блэка-Шоулза), а также приложения к нейросетям (диффузионные модели).
Содержание учебной дисциплины
- Условные распределения. Многомерные гауссовы распределения, слабая сходимость мер, законы 0-1, лемма Бореля – Кантелли.
- Винеровский процесс. Броуновское движение и его математическая модель. Исторический экскурс — работы Эйнштейна и Башелье.
- Доказательства существования винеровского процесса (обзорно). Винеровский процесс как предел случайных блужданий
- Случайное блуждание и винеровский процесс. Принцип отражения, комбинаторный подход. Распределение максимума на отрезке, возвращение процесса в точку старта и другие свойства траекторий.
- Моделирование финансовых активов. Теория арбитража для дискретного времени. Опционы и другие ценные бумаги. Одношаговая биномиальная модель. Многошаговая биномиальная модель и формула CRR.
- Элементы теории мартингалов (дискретное время). Первая фундаментальная теорема. Полнота рынка. Вторая фундаментальная теорема. Модель CRR и сходимость к модели Блэка – Шоулза.
- Мартингалы с непрерывным временем. Марковские моменты. Мартингальные неравенства.
- Стохастический интеграл. Стохастический интеграл как мартингал. Формула Ито.
- Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). Процесс Орнштейна – Уленбека. Теорема о существовании и единственности решений.
- Марковские свойства решений стохастических дифференциальных уравнений.
- СДУ и уравнения в частных производных. Прямое и обратное уравнения Колмогорова
- Приложения СДУ к нейросетям. Диффузионные модели.
Элементы контроля
- ЛисткиДомашнее задание в виде двух листков
- ЭкзаменНа экзамене можно выбрать контрольную работу (решение задач) либо устный экзамен по теоретическим билетам
