Общая алгебра

Бакалавриат 2025/2026

ID 1074905

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Компьютерные науки и технологии)

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 1-й курс, 4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Дедаев Роман Александрович, Полотовский Григорий Михайлович, Самылина Евгения Александровна, Чилина Екатерина Евгеньевна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 40

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Курс знакомит студентов с базовыми понятиями современной алгебры: группами, кольцами, полями, векторными пространствами. Особое внимание уделено приложениям. В частности, рассматриваются применения алгебры в топологическом анализе компьютерных моделей.

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Алгебра» являются формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики, знакомство с базисными алгебраическими структурами – группами, коммутативными кольцами и полями, векторными пространствами, с их гомоморфизмами, а также примерами и приложениями.

Планируемые результаты обучения

знать происхождение термина «алгебра» (аль‑Хорезми), определение бинарной операции, свойства (ассоциативность, коммутативность, нейтральный и обратный элементы), числа Каталана, понятие алгебраической структуры; уметь проверять свойства операций на примерах, вычислять С_n для малых n, приводить примеры структур.
знать определение группы, примеры (числовые группы, группа симметрий прямоугольника, четверная группа Клейна); свойства: единственность нейтрального и обратного элемента, законы сокращения; уметь проверять аксиомы группы на конкретных множествах, находить нейтральный и обратный элементы.
знать определение перестановки, инверсии, четности; определение подстановки, способ записи в виде циклов; определение симметрической группы; определение подгруппы и критерий подгруппы; уметь находить число инверсий, определять четность перестановки и подстановки; перемножать подстановки, записывать их в циклическом виде; проверять, является ли подмножество подгруппой.
знать определение степени (кратного), порядка элемента, циклической группы; свойства порядка элемента (связь с делимостью); функцию Эйлера φ(n); теорему о подгруппах циклической группы; уметь находить порядок элемента, определять образующие циклической группы; перечислять все подгруппы конечной циклической группы по делителям порядка.
знать определения образа, прообраза, инъекции, сюръекции, биекции; определение гомоморфизма групп, его ядра и образа; свойства гомоморфизмов; теорему об изоморфизме циклических групп; уметь проверять, является ли отображение гомоморфизмом; находить ядро и образ; доказывать изоморфизм конкретных циклических групп.
знать определение отношения эквивалентности, класса эквивалентности; определение левого смежного класса по подгруппе, разложение группы на смежные классы; понятие нормального делителя; определение факторгруппы и условие корректности умножения классов; уметь проверять, является ли подгруппа нормальным делителем; строить смежные классы и факторгруппу для конкретных примеров; приводить примеры факторгрупп.
знать определение индекса подгруппы; формулировку теоремы Лагранжа и её следствия (порядок элемента делит порядок группы, группа простого порядка циклическая); утверждение, что ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа; формулировку первой теоремы о гомоморфизме; уметь применять теорему Лагранжа для нахождения возможных порядков элементов; строить факторгруппу по ядру гомоморфизма.
знать определение кольца (аксиомы сложения и умножения, дистрибутивность); определение обратимого элемента, группы обратимых элементов U(R); определение тела и поля; уметь проверять выполнение аксиом кольца на конкретных примерах (числовые множества, матрицы, кольца вычетов); находить обратимые элементы; определять, является ли кольцо телом или полем.
знать определение алгебраического и трансцендентного числа; примеры числовых полей (Q, R, C); теорему Лиувилля о существовании трансцендентных чисел; исторические результаты о трансцендентности e и π; факт: множество всех алгебраических чисел образует поле; уметь приводить примеры алгебраических чисел (например, i); объяснять, почему Q и R являются полями; различать алгебраические и трансцендентные числа в простых случаях.
знать определение характеристики поля; теорему о том, что характеристика поля равна либо 0, либо простому числу; понятие конечного поля; уметь определять характеристику для конкретных полей; объяснять, почему характеристика не может быть составным числом; приводить примеры конечных полей.
знать понятие свободной группы; что такое копредставление группы (образующие и соотношения); пример задания группы S_3 образующими и соотношениями; формулировку проблемы тождества слов и факт её алгоритмической неразрешимости; уметь записывать копредставление для простых групп (например, циклической); проверять простейшие соотношения в группе.
знать определение косы из n нитей; операцию умножения кос; стандартные образующие σ_i; соотношения Артина; связь группы кос с группой перестановок; примеры кос для n=1, 2, 3; применение кос для построения узлов и зацеплений (зацепление Хопфа, кольца Борромео, узел Соломона); уметь изображать простейшие косы; записывать косы через образующие; проверять соотношения кос на малых примерах.