Математический анализ

Бакалавриат 2025/2026

Статус: Курс обязательный (Дизайн и разработка информационных продуктов)

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Валинкин Михаил Валерьевич, Эрлих Иван Генрихович

Язык: русский

Контактные часы: 136

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Курс «Математический анализ» знакомит студентов с фундаментальными разделами анализа, составляющими основу современной математики и её приложений. В ходе лекций и семинаров слушатели освоят базовые методы доказательств, принципы работы с последовательностями и функциями, понятия предела, непрерывности, производной и интеграла. Особое внимание уделяется развитию навыков строгого математического мышления и умению применять теоретические результаты к решению задач. Практическая часть курса направлена на формирование у студентов умений работать с формулами, вычислять пределы, производные и интегралы, а также исследовать функции и строить графики.

Цель освоения дисциплины

Знать основы логики и методы математических доказательств (индукция, доказательство от противного, методы работы с неравенствами).
Владеть основными комбинаторными конструкциями (перестановки, размещения, сочетания, биномиальные формулы).
Понимать понятие последовательности и предела, уметь доказывать существование и вычислять пределы.
Знать критерии сходимости последовательностей и функций, уметь применять теоремы Вейерштрасса, Коши, Больцано.
Владеть понятием функции и её предела, свойствами непрерывных функций и критериями обратимости.
Уметь вычислять производные функций, применять правила дифференцирования и использовать производные для исследования функций (монотонность, экстремумы, выпуклость).
Знать основные элементарные функции (тригонометрические, обратные тригонометрические, показательная, логарифмическая) и их свойства.
Освоить понятие первообразной и интеграла, владеть методами интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям).
Понимать условия интегрируемости функций, признаки сходимости рядов и несобственных интегралов.
Освоить базовые методы работы с функциями многих переменных (предел, дифференцируемость, экстремумы, кратные интегралы).

Планируемые результаты обучения

Владеть фундаментальными понятиями анализа (предел, непрерывность, производная, интеграл) и применять их для построения строгих доказательств.
Проводить полное исследование функции с помощью дифференциального исчисления: находить экстремумы, интервалы монотонности и строить графики.
Вычислять интегралы различными методами и применять их для решения геометрических (площадь, объем) и физических задач.
Анализировать числовые и степенные ряды на сходимость, используя стандартные признаки, и раскладывать функции в ряды.
Находить частные производные и экстремумы для функций многих переменных, а также вычислять интегралы.

Содержание учебной дисциплины

Высказывания, предикаты, кванторы. Логические операции. Методы доказательств. Неравенство Бернулли.
Комбинаторика. Перестановки, размещения, сочетания. Бином Ньютона. Последовательности, способы задания, способы визуализации. Монотонность последовательности. Ограниченность последовательности. Предел последовательности.
Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, арифметика предела последовательности. Б.б и б.м. малые последовательности.
Предельный переход в неравенстве. Теорема о зажатой последовательности.
Аксиома непрерывности действительных чисел. Подмножества действительных чисел, верхняя и нижняя грань множества. Точная верхняя и нижняя грань множества. Теорема о существовании точной грани. Теорема Вейерштрасса. Число e.
Подпоследовательности. Частичные пределы. Предельные точки. Свойства частичных пределов. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши.
Функция. График функции. Инъекция, сюръекция, биекция. Обратимость функции. Предел функции по Коши, предел функции по Гейне.
Арифметика предела функции. Теорема о зажатой функции. Теорема о сложной функции. Односторонние пределы.
Пределы на бесконечности. Асимптоты. О-символика. Эквивалентность функций.
Непрерывность функции в точке. Теорема о пределе сложной функции. Непрерывность функции на отрезке. Свойства. Обратные функции. Достаточное условие обратимости функции. Критерий обратимости непрерывной функции. Свойства обратной функции.
Обратные тригонометрические. Показательная, логарифмическая функции. Определения и свойства. Определение производной. Касательная к графику функции. Производная стандартных функций
Правила подсчета производной. Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная обратной функции.
Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Теорема Ферма. Алгоритм нахождения наибольшего\наименьшего значения функции на отрезке. Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.
Достаточное условие монотонности функции на отрезке. Достаточное условие экстремума. Выпуклость функции на отрезке. Точка перегиба. Критерий выпуклости функции на отрезке.
Правило Лопиталя. Многочлен Тейлора. Свойство многочлена Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Единственность формулы Тейлора.
Формула Тейлора с отсточным членом в форме Лагранжа. Нахождение приближенного значения функций. 2-ое достаточное условие экстремума функции в точке.
Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл. Связь с дифференциалами. Свойства неопределенного интеграла.
Замена переменной, формула подстановки, интегрирование по частям. Разбиение отрезка, разметка разбиения, интегральная сумма. Определенный интеграл (по Коши и по Гейне). Ограниченность интегрируемой функции.
Верхние и нижние суммы Дарбу. Измельчение разбиения. Свойства интегральных сумм. Свойства верхних и нижних сумм. Верний и нижний интеграл Дарбу. Лемма Дарбу. Критерий интегрируемости Дарбу.
Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора. Интегрируемость непрерывной функции на отрезке. Интегрируемость монотонной функции на отрезке. Множество меры ноль по Лебегу. Критерий Лебега интегрирумости функции на отрезке.
Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхнем пределом. Его свойства. Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление определенных интегралов (замена переменных и интегрирование по частям). Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Несобственные интегралы.
Числовые ряды. Необходимое условие сходимости. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: сравнения, предельный, интегральный. Знакопеременный ряд. Виды сходимости. Преобразование Абеля, неравенство Абеля. Признаки сходимости: Лейбница, Абеля и Дирихле.
Сходимость несобственных интегралов. Функциональная последовательность. Поточечная и равномерная сходимость. Критерий равномерной сходимости. Свойства равномерной сходимости.
Фунциональные ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Степенные ряды. Лемма Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Формула Коши-Адамара. Аналитические функции.
Ряды Тейлора.
Функция многих переменных. Предел функции. Топология в пространстве. Компакт. Свойство непрерывной функции на компакте.
Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные. Достаточное условие дифференцируемости. производная сложной функций. Производная по направлению. Градиент.
Неявно заданные функции. Теорема о неявной функции.
Экстремумы функции. Необходимое условие. Матрица Гессе. Достаточное условие экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на компакте.
Экстремальная задача с ограничением. Функция Лагранжа. Метод множителей Лагранжа.
Определенный интеграл по многомерному множеству. Замена переменной. Переход от кратного к повторному.
Методы вычисления интегралов.
Методы вычисления интегралов - 2

Элементы контроля

Домашнее задание 1 семестр
Quiz (короткие самостоятельные работы) 1 семестр
Дополнительные задания 1 семестр
Контрольная работа (блокирующая) 1 семестр
Активность на семинарах 1 семестр
Экзамен (оба элемента блокирующие) 1 семестр
Домашнее задание 2 семестр
Quiz (короткие самостоятельные работы) 2 семестр
Дополнительные задания 2 семестр
Контрольная работа (блокирующая) 2 семестр
Активность на семинарах 2 семестр
Экзамен (оба элемента блокирующие)

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
0,1ДЗ+0,1Quiz*+0,1Доп.листочки+0,1КР1+0,15КР2+0,3Устная часть экзамена+0,15Письменная часть экзамена**+0,05Активность на семинарах
2025/2026 4th module
0,1ДЗ+0,1Quiz*+0,1Доп.листочки+0,2КР+0,3Устная часть экзамена+0,2Письменная часть экзамена**+0,05Активность на семинарах

Список литературы

Авторы

Солдатова Татьяна Владимировна

Программа дисциплины