Бакалавриат
2025/2026
Специальные разделы матричного анализа (углубленный курс)
Статус:
Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)
Когда читается:
3-й курс, 3, 4 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Программа дисциплины
Аннотация
Готовы ли вы поверить, что практически все большие матрицы приближаются матрицам малого ранга?
Знаете ли вы, что современная математика имеет дело с разными иногда совсем неочевидными
определениями матричных и тензорных рангов?
Что вы знаете о влиянии, которое оказали матрицы и тензоры малых рангов на мир математики, как чистой, так и вычислительной?
Находя ответы на эти вопросы, в первой части этого курса мы познакомимся с замечательным разнообразием матричных рангов.
По сути, мы будем говорить об устойчивости ранга матрицы к возмущениям различной природы. Будут изучены понятия
эпсилон-ранга, положительного ранга, знак-ранга, теплицевого ранга, жесткости матриц и др. Нас будут интересовать теоретические и прикладные задачи,
связанные с этими понятиями. Значительное внимание будет уделяться вычислительным алгоритмам и их анализу. Будет
изучаться связь введенных понятий с теорией приближений, теорией сложности, анализом данных и др.
Но что, быть может, еще более важно -- это то, что методы, которыми мы будем пользоваться, почти целиком укладываются
в базовый курс алгебры и матричного анализа.
Вы, я надеюсь, увидите, как курс алгебры оживет и постепенно превратится в мощный инструмент ваших будущих
научных исследований!
Во второй части курса мы будем развивать аппарат матричного анализа.
Вероятно вы уже слышали о двух теоремах Гершгорина о локализации спектра.
Знание только этих безусловно замечательных и вполне элементарных теорем равносильно остановке у подножия горы.
Развивая теорию Гершгорина, можно забраться повыше и значительно расширить свое представление о спектральных
свойствах матриц.
Мы коснемся теории интерполяции для операторов в конечномерных пространствах; опишем унитарно инвариантные нормы.
Изучим понятие поля значений и некоторые важные аспекты современной алгебраической теории возмущений.