2025/2026
Вариационные методы в задачах современного математического моделирования
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Будков Юрий Алексеевич
Язык:
русский
Программа дисциплины
Аннотация
В рамках предлагаемого курса будут представлены основы вариационного исчисления, а также его приложения к различным задачам математического моделирования. Особое внимание будет уделено понятиям функционала, вариации функционала и вариационной производной. На основе аналогии с экстремумом функции нескольких переменных будет введено понятие экстремума функционала и экстремали, а также доказаны основные теоремы. Будет изложена теория условного экстремума функционала. В качестве приложений вариационного исчисления будут рассмотрены задачи классической механики, теории поля, теории упругости, оптики и др.
Цель освоения дисциплины
- Цель дисциплины состоит в ознакомлении студентов с основами классического вариационного исчисления и применениями его методов к задачам, возникающим в приложениях, таких как механика, теория поля, физика кооперативных явлений (устойчивость и фазовые переходы) и т.д.
Планируемые результаты обучения
- Выводить уравнения колебания струны и мембраны из вариационного принципа.
- Вычислять вариационную производную функционала, зависящего от старших производных функции одной переменной.
- Применять вариационный принцип экстремального действия к решению задач механики систем многих тел.
- Умение вычислять вариационные (функциональные) производные функционала зависящего от первой производной функции одной перменной. Получать уравнение Эйлера-Лагранжа по заданному функционалу. Находить условный экстремум функционала методом Лагранжа.
- Студенты не просто изучают еще один математический метод, а осваивают фундаментальный язык теоретической физики и современного математического моделирования. Этот раздел стирает границу между математикой и физикой, показывая, как глубокие математические концепции непосредственно используются для формулировки законов природы.
- Студенты получат мощный инструмент для анализа и решения широкого класса задач оптимизации, где решение — не число, а функция, кривая или поверхность, что является краеугольным камнем современного математического моделирования.
- Студенты осваивают полноценный аппарат оптимизации для функционалов, переходя от простого нахождения решений к их полному анализу и решению сложных, практически значимых задач с ограничениями, что является основой для построения адекватных математических моделей в инженерии, физике и экономике.
- Студенты осваивают кульминацию вариационных методов — их применение к задачам теории поля и статистической физики, что завершает формирование целостного взгляда на вариационное исчисление как на основной язык математического моделирования в современной науке.
Содержание учебной дисциплины
- Понятие функционала. Функциональные пространства. Вариация функционала и аналогия с дифференциалом функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
- Принцип стационарного действия в механике и его применение к конкретным задачам механики. Вариационная (функциональная) производная. Инвариантность уравнения Эйлера-Лагранжа. Теорема Нётер.
- Вторая вариация. Условие Лежандра. Условный экстремум функционала. Метод Лагранжа. Функционалы зависящие от производных высших порядков.
- Вариационные задачи с частными производными. Функционалы полей. Принцип стационарного действия в теории поля. Применение вариационного исчисления в статистической физике кооперативных явлений. Теория фазовых переходов Гинзбурга-Ландау.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Аналитическая механика, Лурье, А. И., 1961
- Боголюбов, Н. Н. Квантовые поля : учебное пособие / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. — 3-е изд., доп. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 384 с. — ISBN 5-9221-0580-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2117 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Бренерман, М. Х. Вариационное исчисление : учебное пособие / М. Х. Бренерман, В. А. Жихарев. — Казань : КНИТУ, 2017. — 148 с. — ISBN 978-5-7882-2198-4. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/138281 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Валишин, Н. Т. Введение в вариационное исчисление : учебное пособие / Н. Т. Валишин. — 2-е изд., испр. и доп. — Казань : КНИТУ-КАИ, 2016. — 96 с. — ISBN 978-5-7579-2167-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/156061 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Вариационное исчисление, Эльсгольц, Л. Э., 2006
- Курс высшей математики. Т. 4:, Смирнов, В.И., 1951
- Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учебное пособие : в 10 томах / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский , под редакцией Г. С. Ландсберга. — 5-е изд., испр. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2021 — Том 9 : Статистическая физика. Ч. 2. Теория конденсированного состояния — 2021. — 440 с. — ISBN 978-5-9221-1580-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/185699 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : учебное пособие для вузов : в 10 т. Том 5. Статистическая физика. Часть 1 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц ; под. ред. Л. П. Питаевского. — 6-е изд., стер. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2018. - 620 с. - ISBN 978-5-9221-1510-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1223531
- Лебедев, К. А. Вариационное исчисление : учебное пособие / К. А. Лебедев. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. - 220 с. - ISBN 978-5-9729-1224-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/2092471
- Статистическая физика : учеб. пособие для физ. специальностей вузов, Климонтович, Ю. Л., 1982
- Теоретическая физика. Т. 1: Механика, Ландау, Л. Д., 2017
- Теоретическая физика. Т. 5: Статистическая физика, Ландау, Л. Д., 1964
- Теоретическая физика. Т.9: Статистическая физика: Ч. 2: Теория конденсированного состояния, Лифшиц, Е. М., 2015
- Теория самосогласованного поля в химической термодинамике ион - молекулярных систем, Будков, Ю. А., 2020