Математический анализ 2

Бакалавриат 2025/2026

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Онлайн-часы: 20

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Зароднюк Алёна Владимировна, Платонова Ксения Сергеевна, Радомский Артем Олегович, Юделевич Виталий Викторович

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 80

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы. В рамках данного курса студенты так же познакомятся с рядами Фурье и преобразованием Фурье, которое смогут изучить более подробно в последующих курсах.

Цель освоения дисциплины

Знать основы теории рядов, кратного интегрирования, криволинейных и поверхностных интегралов, рядов и преобразования Фурье.
Уметь практически применять навыки работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье.
Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).

Планируемые результаты обучения

Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).
Уметь самостоятельно решать нестандартные задачи повышенной сложности
Уметь строить логические цепочки и строгие математические доказательства

Содержание учебной дисциплины

Кратный интеграл Римана, необходимое условие интегрируемости, свойства интеграла.
Множество лебеговой меры нуль. Свойства множеств лебеговой меры нуль.
Топология R^n, критерий компактности в R^n.
Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте. Колебания функции на множестве и в точке. Теорема Кантора-Гейне о колебаниях функции на компакте. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
Критерий Лебега (продолжение). Верхние и нижние суммы Дарбу, свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу, теорема об интегралах как пределах сумм Дарбу. Критерий Дарбу. Допустимые множества, интеграл по допустимому множеству.
Мера Жордана. Свойства интеграла Римана по допустимым множествам. Теоремы Фубини для бруска и для допустимого множества. Формула замены переменных в кратном интеграле Римана.
Равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши, теорема о предельном переходе, теоремы о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости предельной функции.
Теоремы о интегрируемости/дифференцируемости предельной функции.
Равномерная сходимость функционального ряда.
Степенные ряды, теорема Коши-Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд, табличные разложения.
Евклидовые и нормированные пространства. Основная тригонометрическая система.
Ряды Фурье, экстремальное свойство коэффициентов Фурье
Полные системы. Критерий полноты ОНС, равенство Парсеваля.
Полнота основной тригонометрической системы.
Лемма Римана.

Элементы контроля

Домашнее задание
Выдается раз в неделю и содержит 4-7 задач по теме Семинара.
Листки с дополнительными задачами
Выдается 1-2 листка с задачам и сверх пройденного материала для дополнительного развития студентов
Коллоквиум 1
Проходит в устной форме, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами, студенту дают 30-40 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено. Тема: интеграл Римана, кратные интегралы, числовые и функциональные ряды, степенные ряды
Коллоквиум 2
Проходит в письменной форме, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами и задачами, студенту дают 80 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено. Тема: Теория тригонометрических рядов Фурье.
Контрольная работа
Проводится в письменном виде, всего 5-6 задач.
Экзамен
Экзамен проходит в письменной форме в аудитории (дистанционно для студентов, официально проходящих курс онлайн), пользоваться какими-либо материалами запрещено, длится 120 минут. Всего 5-6 задач.
Лабораторная работа
Оценивается решение задач. Оценка приводится к 10–бальной шкале.
Мини-контрольная
Оцениваются ответы на вопросы по нескольким предыдущим лекциям.

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
Итог = min(Округление(0.1 * ДЗ + 0.15*КЛ1+0,1*КЛ2 + 0.2 * КР+0.01*Л+0.1*Лаб + 0.1*МК + 0.35 * Э), 10) где ДЗ = min (10; средняя оценка за все домашние задания + О_сем), О_сем - дополнительный балл в размере 0, 0.3, 0.6 или 1, который семинарист может высставить студенту за активное участие в работе семинаров, КЛ1 - оценка за коллоквиум 1, КЛ2 - оценка за коллоквиум 2, КР — оценка за контрольную работу, Л - оценка за решение листков с дополнительными задачами, МК - оценка за мини-контрольные на лекциях, Лаб - оценка за лабороторную работу Э — оценка за экзамен.

Список литературы

Авторы

Волкова Вера Константиновна
Кононова Елизавета Дмитриевна

Программа дисциплины