Бакалавриат
2025/2026





Теория вероятностей
Статус:
Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)
Где читается:
Факультет компьютерных наук
Когда читается:
2-й курс, 1-3 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Контактные часы:
96
Программа дисциплины
Аннотация
Курс представляет собой введение в теорию вероятностей. В рамках курса будет изложена аксиоматка Колмогорова и построены основные объекты и понятия теории вероятностей, такие как вероятностное пространство, случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия, характеристические функции и другие. Отдельное внимание будет посвящено вопросам независимости и формуле Байеса. Также будут изучены необходимые базовые результаты из теории меры, имеющие отношение к теории вероятностей. Кроме того, подробно будет изучены вопросы сходимости случайных величин и доказаны законы больших чисел и центральная предельная теорема. В качестве приложений планируется изучение различных неравенств о концентрации меры и приложения к рандомизированной линейной алгебре.
Цель освоения дисциплины
- Иметь представление о современной аксиоматике теории вероятностей
- Уметь работать со случайными величинами и вычислять их различные характеристики
- Владеть навыками решения базовых задач теории вероятностей
Планируемые результаты обучения
- Для студентов: насладиться красотой науки о случайностях и попутно освоить программу курса.
- Для преподавателей: понять, как лучше обновить классическое изложение теории вероятностей.
- Владеть теорией сходимости случайных величин
- Знать основные теоремы теории вероятностей: закон больших чисел, центральную предельную теорему
- Владеть навыками приложения теории вероятностей в других разделах математики
Содержание учебной дисциплины
- Конечное вероятностное пространство. Простейшие свойства вероятности. Случайные величины в дискретных вероятностных пространствах. Примеры стандартных распределений
- Общее понятие вероятностного пространства. Алгебра, сигма-алгебра, примеры. Борелевская сигма-алгебра. Лемма о существовании наименьшей (порожденной) системы. Мера, сигма-конечная мера, вероятностная мера.
- Вероятностные меры в многомерном пространстве R^n с борелевской сигма-алгеброй B(R^n). Простейшие свойства вероятности. Теорема о непрерывности вероятностной меры. Измеримые функции (в R^n), замкнутость относительно sup
- Случайная величина. Функция распределения и её свойства. Теорема о взаимооднозначном соответствии функции распределения и вероятностной меры. Примеры и классификация функций распределения на R.
- Ступенчатая функция, представимость измеримых функций в виде пределов ступенчатых. Определение интеграла, линейность.
- Матожидание. Pushforward меры и абстрактная формула замены переменной. Плотность распределения. Математическое ожидание функции от случайного вектора, имеющего плотность. Дисперсия и ковариация. Следствия из теоремы о свойствах дисперсии и ковариации.
- Теорема Фубини, определение свертки, измеримость и интегрируемость. Формула свёртки. Свойства дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции. Матрица ковариаций случайного вектора. Неравенство Йенсена.
- Теорема Радона-Никодима. Дивергенция Кульбака-Лейблера и ее основные свойства.
- Дискретные, сингулярные и абсолютно-непрерывные меры. Теорема Лебега о разложении меры.
- Условные вероятности. Формула полной вероятности. Аналог формулы полной вероятности для математического ожидания. Формула Байеса. Независимость событий. Независимость случайных величин и случайных векторов. Критерий независимости в терминах плотностей.
- Многомерное нормальное распределение. Теорема об эквивалентных определениях для гауссовского вектора. Линейные преобразования гауссовского вектора. Лемма о независимости компонент гауссовского вектора. Теорема о плотности гауссовского вектора.
- Сходимости измеримых функций (случайных величин). Сходимость почти всюду (наверное) и по мере (вероятности). Предельный переход под знаком интеграла (математического ожидания). Теорема о монотонной сходимости. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
- Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева и Кантелли.
- Теорема Прохорова
- Характеристическая функция случайной величины и случайного вектора, основные свойства
- Сходимость в основном, по распределению и слабая сходимость.
- Теорема Бохнера.
- Центральная предельная теорема
- Определение и условия существования условного матожидания. Основные свойства условного матожидания. Условные распределения.
- Границы Чернова
- Субгауссовы случайные величины.
- Неравенство об оценке для липшицевых функций от нормальных случайных величин.
- Лемма Джонсона-Линденштраусса
- Рандомизированная линейная алгебра
Элементы контроля
- Домашнее заданиеНа каждом семинаре выдается домашнее задание.
- Бонусное домашнее заданиеНа каждом семинаре выдаются бонусные домашние задания. Бонусные домашние задания сдаются устно семинаристу. Дедлайнов по сдаче бонусных задач нет.
- Контрольные работыЗа курс будет проведено 2 контрольные работы. Первая контрольная включает в себя темы, посвященные элементарной теории вероятностей, математическим основаниям теории вероятностей, условным вероятностям и многомерному нормальному распределению. Она будет проведена после того, как эти темы будут рассказаны на лекциях (примерно после 11 лекции). Вторая контрольная будет проведена в конце курса и содержать оставшиеся темы. Контрольные работы будут проводиться вне времени лекций и семинаров. На каждой контрольной студентам выдается набор задач для письменного решения. На контрольной можно пользоваться любыми бумажными источниками, но нельзя общаться и пользоваться электронными устройствами.
- КоллоквиумыПервый коллоквиум проходит после построения математических основ теории вероятностей (примерно 9 лекция). Второй коллоквиум включает условные вероятности, многомерное нормальное распределение и вопросы сходимости (примерно 17 лекция). Коллоквиум сдается устно. На коллоквиуме запрещается пользоваться любыми вспомогательными материалами.
- Письменный экзаменПисьменный экзамен проходит в письменной форме в зимнюю сессию. На письменном экзамене студенту выдается набор задач для самостоятельного решения. Задачи могут быть как вычислительного характера, так и теоретические (доказать утверждение, дать определение, сформулировать).
- ЭкзаменЭкзамен проходит в устной очной форме. На экзамене студенту выдается 2 теоретических вопроса, которые требуется рассказать с доказательством (4 балла), несколько вопросов на формулировки и определения (2 балла), и 1-2 задачи (2 балла). Кроме того, на экзамене принимающий задает допвопросы по своему усмотрению, которые также оцениваются до 2 баллов (уточняющие вопросы по билету не считаются за допвопросы). На экзамене запрещается пользоваться любыми вспомогательными материалами.
Промежуточная аттестация
- 2025/2026 2nd moduleИтог = Округление(0.25 * Э + 0.15 * Кол1 + 0.15 * Кол2 + min{4.5, 0.1 * Кр1 + 0.1 * Кр2 + 0.1 * ПЭ + 0.15 * ДЗ + 0.1 * БДЗ}). Здесь Э — оценка за экзамен (от 0 до 10), ПЭ – оценка за письменный экзамен (от 0 до 10) Кол1 и Кол2 – оценки за 1 и 2 коллоквиумы соответственно (от 0 до 10 каждый), Кр1 и Кр2 – оценки за контрольные работы (от 0 до 10 каждая), ДЗ – оценка за домашние задания (от 0 до 10), БДЗ – оценка за бонусные домашние задания.
- 2025/2026 3rd moduleИтог = Округление(0.25 * Э + 0.15 * Кол1 + 0.15 * Кол2 + min{4.5, 0.1 * Кр1 + 0.1 * Кр2 + 0.1 * ПЭ + 0.15 * ДЗ + 0.1 * БДЗ}). Здесь Э — оценка за экзамен (от 0 до 10), ПЭ – оценка за письменный экзамен (от 0 до 10) Кол1 и Кол2 – оценки за 1 и 2 коллоквиумы соответственно (от 0 до 10 каждый), Кр1 и Кр2 – оценки за контрольные работы (от 0 до 10 каждая), ДЗ – оценка за домашние задания (от 0 до 10), БДЗ – оценка за бонусные домашние задания.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Vladimir Kadets. (2018). A Course in Functional Analysis and Measure Theory (Vol. 1st ed. 2018). Springer.
- Ширяев, А. Н. Вероятность-1 : учебное пособие / А. Н. Ширяев. — Москва : МЦНМО, 2007. — 552 с. — ISBN 978-5-94057-105-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9448 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
Рекомендуемая дополнительная литература
- Коралов, Л. Б. Теория вероятностей и случайные процессы / Л. Б. Коралов, Я. Г. Синай , под редакцией Б. М. Гуревича , перевод с английского Э. В. Переходцевой. — Москва : МЦНМО, 2014. — 408 с. — ISBN 978-5-4439-2073-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/71821 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.