• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2025/2026

Теория вероятностей

Когда читается: 2-й курс, 1-3 модуль
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Контактные часы: 96

Программа дисциплины

Аннотация

Курс представляет собой введение в теорию вероятностей. В рамках курса будет изложена аксиоматка Колмогорова и построены основные объекты и понятия теории вероятностей, такие как вероятностное пространство, случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия, характеристические функции и другие. Отдельное внимание будет посвящено вопросам независимости и формуле Байеса. Также будут изучены необходимые базовые результаты из теории меры, имеющие отношение к теории вероятностей. Кроме того, подробно будет изучены вопросы сходимости случайных величин и доказаны законы больших чисел и центральная предельная теорема. В качестве приложений планируется изучение различных неравенств о концентрации меры и приложения к рандомизированной линейной алгебре.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Иметь представление о современной аксиоматике теории вероятностей
  • Уметь работать со случайными величинами и вычислять их различные характеристики
  • Владеть навыками решения базовых задач теории вероятностей
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Для студентов: насладиться красотой науки о случайностях и попутно освоить программу курса.
  • Для преподавателей: понять, как лучше обновить классическое изложение теории вероятностей.
  • Владеть теорией сходимости случайных величин
  • Знать основные теоремы теории вероятностей: закон больших чисел, центральную предельную теорему
  • Владеть навыками приложения теории вероятностей в других разделах математики
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Конечное вероятностное пространство. Простейшие свойства вероятности. Случайные величины в дискретных вероятностных пространствах. Примеры стандартных распределений
  • Общее понятие вероятностного пространства. Алгебра, сигма-алгебра, примеры. Борелевская сигма-алгебра. Лемма о существовании наименьшей (порожденной) системы. Мера, сигма-конечная мера, вероятностная мера.
  • Вероятностные меры в многомерном пространстве R^n с борелевской сигма-алгеброй B(R^n). Простейшие свойства вероятности. Теорема о непрерывности вероятностной меры. Измеримые функции (в R^n), замкнутость относительно sup
  • Случайная величина. Функция распределения и её свойства. Теорема о взаимооднозначном соответствии функции распределения и вероятностной меры. Примеры и классификация функций распределения на R.
  • Ступенчатая функция, представимость измеримых функций в виде пределов ступенчатых. Определение интеграла, линейность.
  • Матожидание. Pushforward меры и абстрактная формула замены переменной. Плотность распределения. Математическое ожидание функции от случайного вектора, имеющего плотность. Дисперсия и ковариация. Следствия из теоремы о свойствах дисперсии и ковариации.
  • Теорема Фубини, определение свертки, измеримость и интегрируемость. Формула свёртки. Свойства дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции. Матрица ковариаций случайного вектора. Неравенство Йенсена.
  • Теорема Радона-Никодима. Дивергенция Кульбака-Лейблера и ее основные свойства.
  • Дискретные, сингулярные и абсолютно-непрерывные меры. Теорема Лебега о разложении меры.
  • Условные вероятности. Формула полной вероятности. Аналог формулы полной вероятности для математического ожидания. Формула Байеса. Независимость событий. Независимость случайных величин и случайных векторов. Критерий независимости в терминах плотностей.
  • Многомерное нормальное распределение. Теорема об эквивалентных определениях для гауссовского вектора. Линейные преобразования гауссовского вектора. Лемма о независимости компонент гауссовского вектора. Теорема о плотности гауссовского вектора.
  • Сходимости измеримых функций (случайных величин). Сходимость почти всюду (наверное) и по мере (вероятности). Предельный переход под знаком интеграла (математического ожидания). Теорема о монотонной сходимости. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
  • Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева и Кантелли.
  • Теорема Прохорова
  • Характеристическая функция случайной величины и случайного вектора, основные свойства
  • Сходимость в основном, по распределению и слабая сходимость.
  • Теорема Бохнера.
  • Центральная предельная теорема
  • Определение и условия существования условного матожидания. Основные свойства условного матожидания. Условные распределения.
  • Границы Чернова
  • Субгауссовы случайные величины.
  • Неравенство об оценке для липшицевых функций от нормальных случайных величин.
  • Лемма Джонсона-Линденштраусса
  • Рандомизированная линейная алгебра
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание
    На каждом семинаре выдается домашнее задание.
  • неблокирующий Бонусное домашнее задание
    На каждом семинаре выдаются бонусные домашние задания. Бонусные домашние задания сдаются устно семинаристу. Дедлайнов по сдаче бонусных задач нет.
  • неблокирующий Контрольные работы
    За курс будет проведено 2 контрольные работы. Первая контрольная включает в себя темы, посвященные элементарной теории вероятностей, математическим основаниям теории вероятностей, условным вероятностям и многомерному нормальному распределению. Она будет проведена после того, как эти темы будут рассказаны на лекциях (примерно после 11 лекции). Вторая контрольная будет проведена в конце курса и содержать оставшиеся темы. Контрольные работы будут проводиться вне времени лекций и семинаров. На каждой контрольной студентам выдается набор задач для письменного решения. На контрольной можно пользоваться любыми бумажными источниками, но нельзя общаться и пользоваться электронными устройствами.
  • неблокирующий Коллоквиумы
    Первый коллоквиум проходит после построения математических основ теории вероятностей (примерно 9 лекция). Второй коллоквиум включает условные вероятности, многомерное нормальное распределение и вопросы сходимости (примерно 17 лекция). Коллоквиум сдается устно. На коллоквиуме запрещается пользоваться любыми вспомогательными материалами.
  • блокирующий Письменный экзамен
    Письменный экзамен проходит в письменной форме в зимнюю сессию. На письменном экзамене студенту выдается набор задач для самостоятельного решения. Задачи могут быть как вычислительного характера, так и теоретические (доказать утверждение, дать определение, сформулировать).
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проходит в устной очной форме. На экзамене студенту выдается 2 теоретических вопроса, которые требуется рассказать с доказательством (4 балла), несколько вопросов на формулировки и определения (2 балла), и 1-2 задачи (2 балла). Кроме того, на экзамене принимающий задает допвопросы по своему усмотрению, которые также оцениваются до 2 баллов (уточняющие вопросы по билету не считаются за допвопросы). На экзамене запрещается пользоваться любыми вспомогательными материалами.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2025/2026 2nd module
    Итог = Округление(0.25 * Э + 0.15 * Кол1 + 0.15 * Кол2 + min{4.5, 0.1 * Кр1 + 0.1 * Кр2 + 0.1 * ПЭ + 0.15 * ДЗ + 0.1 * БДЗ}). Здесь Э — оценка за экзамен (от 0 до 10), ПЭ – оценка за письменный экзамен (от 0 до 10) Кол1 и Кол2 – оценки за 1 и 2 коллоквиумы соответственно (от 0 до 10 каждый), Кр1 и Кр2 – оценки за контрольные работы (от 0 до 10 каждая), ДЗ – оценка за домашние задания (от 0 до 10), БДЗ – оценка за бонусные домашние задания.
  • 2025/2026 3rd module
    Итог = Округление(0.25 * Э + 0.15 * Кол1 + 0.15 * Кол2 + min{4.5, 0.1 * Кр1 + 0.1 * Кр2 + 0.1 * ПЭ + 0.15 * ДЗ + 0.1 * БДЗ}). Здесь Э — оценка за экзамен (от 0 до 10), ПЭ – оценка за письменный экзамен (от 0 до 10) Кол1 и Кол2 – оценки за 1 и 2 коллоквиумы соответственно (от 0 до 10 каждый), Кр1 и Кр2 – оценки за контрольные работы (от 0 до 10 каждая), ДЗ – оценка за домашние задания (от 0 до 10), БДЗ – оценка за бонусные домашние задания.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Vladimir Kadets. (2018). A Course in Functional Analysis and Measure Theory (Vol. 1st ed. 2018). Springer.
  • Ширяев, А. Н. Вероятность-1 : учебное пособие / А. Н. Ширяев. — Москва : МЦНМО, 2007. — 552 с. — ISBN 978-5-94057-105-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9448 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Коралов, Л. Б. Теория вероятностей и случайные процессы / Л. Б. Коралов, Я. Г. Синай , под редакцией Б. М. Гуревича , перевод с английского Э. В. Переходцевой. — Москва : МЦНМО, 2014. — 408 с. — ISBN 978-5-4439-2073-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/71821 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Авторы

  • Морозов Станислав Викторович
  • Самоненко Илья Юрьевич
  • Волкова Вера Константиновна