Бакалавриат 2025/2026

Математический анализ

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Гонцов Ренат Равилевич, Дунин-Барковский Петр Игоревич, Илларионов Андрей Анатольевич, Калмынин Александр Борисович, Медведев Владимир Олегович, Осипов Павел Сергеевич, Попова Светлана Николаевна, Сивкин Владимир Николаевич, Уваров Филипп Викторович, Шилин Иван Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 11

Контактные часы: 208

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен основам классического математического анализа (вещественные числа, множества вещественных чисел, последовательности и их пределы, функции вещественного переменного, пределы, производные, графики, формула Тейлора, функции нескольких переменных, дифференциалы отображений, числовые, степенные и функциональные ряды, интегралы и приложения интегрального исчисления, теорема о неявной функции и ее приложения, условный экстремум функций многих переменных).

Цель освоения дисциплины

• Изучение теоретических основ математического анализа, необходимых для дальнейшего продвижения во всех аналитических дисциплинах в процессе обучения на факультете.
• Приобретение необходимых навыков для решения вычислительных задач.

Планируемые результаты обучения

• Понимание основных аксиом поля вещественных чисел и аксиомы Архимеда. Умение выводить следствия из аксиом и доказывать утверждения, связанные с вещественными числами. Освоение отличительных свойств натуральных, рациональных и иррациональных чисел. Способность ясно и обоснованно объяснять структуру и свойства множества вещественных чисел
• Понимание и владение определением предела последовательности, критериями сходимости и расходимости. Умение доказывать лемму о двух милиционерах, теорему Вейерштрасса и критерий Коши. Владение понятиями подпоследовательностей, частичных пределов, верхнего и нижнего предела.
• Понимание и применение критериев сходимости числовых рядов. Умение пользоваться признаком Коши и признаками сходимости положительных рядов. Владение примерами важных рядов (геометрическая прогрессия, гармонический ряд). Осведомленность о числе е , его представлении в виде ряда и свойствах иррациональности.
• Четкое понимание и уверенное использование понятия предела функции, односторонних пределов и типов разрывов. Умение применять теоремы о непрерывности, замене переменных и признаках существования пределов. Владение глобальными свойствами непрерывных функций, такими как ограниченность, теорема о промежуточном значении и сохранение компакта. Освоение важнейших элементарных функций, их свойств и связи с непрерывностью.
• Понимание и умение вычислять производные и дифференциалы функций. Владение правилами дифференцирования сложных, параметрических и неявных функций. Уверенное применение теорем Ферма, Ролля, Лагранжа и правила Лопиталя. Знание производных высших порядков, формулы Тейлора и остаточного члена, умение раскрыть неопределённости.
• Понимание и применение понятия функции многих переменных. Определение и исследование пределов функций нескольких переменных. Оценка непрерывности функций многих переменных в точке и на множестве.
• Понимание смысла и основных свойств неопределённого интеграла. Владение полным набором классических методов интегрирования и способностью выбрать оптимальный метод для конкретной задачи. Умение устанавливать интегрируемость функций, оценивать значения интегралов и применять специальные функции. Возможность уверенно решать сложные задачи интегрирования, использовать неравенства и специализированные методы
• Освоение понятий и методов дифференцирования отображений из R n R n в R k R k . Умение применять теоремы о среднем и принципе сжимающих отображений. Понимание теорем о неявных и обратных функциях, достаточных условий дифференцируемости и градиенте. Владение понятием ранга отображения, классификацией отображений постоянного ранга и условиями экстремума функций многих переменных. Освоение теории условных экстремумов, леммы Морса и основ теории поверхностей.
• Понимание сути понятий точного верхнего и нижнего значений, счетности и несчетности, плотности множества, структуры поля и топологических характеристик множеств; знание теоретических положений, относящихся к решению предложенных задач, включая строение Канторова множества, свойства интервалов и лучеобразных областей в упорядоченном поле; умение применять теоретические знания для доказательства утверждений, нахождения точных значений границ множеств.
• Понимание сути понятий предела функции, способа разложения функции в ряд Тейлора, метода исследования функций для построения графика. Знание теоретических оснований для вычисления пределов, вывода и применения неравенств, разложения функций в ряды Тейлора, а также техники построения графиков функций. Умение вычислять пределы, доказывать неравенства, разлагать функции в ряды Тейлора и строить графики функций, исследуя их поведение вблизи особых точек и определяя асимптоты.
• Понимание основ абсолютной и условной сходимости числовых рядов, области определения и дифференцируемости функций, методов интегрирования; знание методов исследования сходимости числовых рядов, определения области определения функции, методов интегрирования; умение анализировать сходимость рядов при различных параметрах, находить область определения функции и исследовать её на дифференцируемость, вычислять интегралы различных типов.
• Понимание основных понятий и методов, связанных с существованием и вычислением несобственных интегралов, площадью плоской фигуры и длиной дуги кривой; знание теоретических основ анализа сходимости несобственных интегралов, методов интегрирования и формул для вычисления площадей и длин дуг кривых; умение исследовать сходимость несобственных интегралов, вычислять их значения, находить площади плоских фигур, образованных параметрическими линиями, и вычислять длину дуги заданной кривой.
• Освоение понятий и методов дифференцирования отображений из R^n R^n в R ^k R ^k . Умение применять теоремы о среднем и принципе сжимающих отображений. Понимание теорем о неявных и обратных функциях, достаточных условий дифференцируемости и градиенте. Владение понятием ранга отображения, классификацией отображений постоянного ранга и условиями экстремума функций многих переменных. Освоение теории условных экстремумов, леммы Морса и основ теории поверхностей.
• Понимание понятий ограниченных множеств, предельных и граничных точек, компактности и секвенциальной компактности. Владение теоремами о вложенных промежутках, Бэра, леммой Гейне-Бореля. Умение применять полученные знания при решении задач, связанных с анализом и топологией.

Содержание учебной дисциплины

• I. I. Элементы теории вещественных чисел.
• I.II. Элементы общей топологии.
• I.III. Теория числовых последовательностей.
• I.IV. Элементы теории числовых рядов.
• I.V. Теория непрерывных функций одной переменной.
• I.VI. Элементы дифференциального исчисления.
• I.VI. Теория экстремумов функции одной одной переменной.
• I.VII. Элементы теории функции многих переменных*.
• II.I. Числовые и функциональные ряды
  Понимание и умение исследовать знакопеременные числовые ряды, бесконечные произведения и перестановки членов ряда. Владение понятием функциональных рядов и критерием равномерной сходимости. Умение производить операции над рядами, включая двойные и повторные ряды, степенные ряды и аналитические функции.
• II.II. Неопределенный интеграл и интеграл Римана
• II.III. Функции многих переменных.

Элементы контроля

• Домашнее задание (осенний семестр) №1-4
  Каждая задача в ДЗ оценивается в 1 балл, Итоговая оценка ДЗ= количество верно решенных задач. Максимальный балл 10.
• Коллоквиум (осенний семестр)
• Экзамен (осенний семестр)
• Домашнее задание (весенний семестр) № 1-4
• Контрольная работа №1-3 (весенний семестр)
• Колллоквиум (весенний семестр)
• экзамен (весенний семестр)
• Контрольная работа №1-3 (осенний семестр)

Промежуточная аттестация

• 2025/2026 2nd module
  0.2 * Домашнее задание (осенний семестр) №1-4 + 0.3 * Коллоквиум (осенний семестр) + 0.2 * Контрольная работа №1-3 (осенний семестр) + 0.3 * Экзамен (осенний семестр)
• 2025/2026 4th module
  Итоговая оценка за весенний семестр = min (экзамен (0.3) + коллоквиум (0.25)+ контрольные работы (0.3 в сумме) + оценки за листки (0.25); 10). Оценка округляется в сторону ближайшего целого числа, n + 0.5 округляется до n+1. Оценка за листки считается как отношение числа сданных задач к числу листков. Пункты, обозначенные (a), (b), (c), учитываются как отдельные задачи, а пункты, обозначенные (i), (ii), (iii), — как части одной задачи. Если оценка по этой формуле больше 10, ставится 10, а превышение над 10 конвертируется в бонусные баллы, которые прибавляются к итоговой оценке с тем же весом, что оценка за листки. Выставлять "автоматы" не планируется. В отдельных случаях семинарист может по своему усмотрению с согласия студента освободить студента от экзамена и выставить итоговую оценку по накопленной, которая вычисляется как сумма с теми же весами, умноженная на 10/8.5.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1: ., Фихтенгольц, Г. М., 2003
• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2: ., Фихтенгольц, Г. М., 2001
• Лекции по математическому анализу, Львовский, С. М., 2008

Рекомендуемая дополнительная литература

• Математический анализ. Ч.1: ., Зорич, В. А., 2007
• Математический анализ. Ч.2: ., Зорич, В. А., 1998
• Основы математического анализа, Рудин, У., 2002

Авторы

• Медведев Владимир Олегович
• Богачев Владимир Игоревич
• Шилин Иван Сергеевич