Бакалавриат 2025/2026

Математический анализ

Статус: Курс обязательный (Математика)

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Гонцов Ренат Равилевич, Дунин-Барковский Петр Игоревич, Илларионов Андрей Анатольевич, Калмынин Александр Борисович, Медведев Владимир Олегович, Осипов Павел Сергеевич, Попова Светлана Николаевна, Сивкин Владимир Николаевич, Уваров Филипп Викторович, Шилин Иван Сергеевич

Язык: русский

Контактные часы: 208

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен основам классического математического анализа (вещественные числа, множества вещественных чисел, последовательности и их пределы, функции вещественного переменного, пределы, производные, графики, формула Тейлора, функции нескольких переменных, дифференциалы отображений, числовые, степенные и функциональные ряды, интегралы и приложения интегрального исчисления, теорема о неявной функции и ее приложения, условный экстремум функций многих переменных).

Цель освоения дисциплины

• Изучение теоретических основ математического анализа, необходимых для дальнейшего продвижения во всех аналитических дисциплинах в процессе обучения на факультете.
• Приобретение необходимых навыков для решения вычислительных задач.

Планируемые результаты обучения

• Доказательство теоремы о неявной функции. Теорема об обратном отображении.
• Знание двух методов суммирования расходящихся рядов: по Абелю и по Пуассону.
• Знание леммы Адамара и леммы Морса.
• Знание определений (частные производные, градиент, якобиан, производная по направлению) и простейших свойств.
• Знание определений и простых основных формул. Умение использовать при решении задач.
• Знание определения производной и дифференциала. Знание теорем о производной сложной функции и о производной обратной функции.
• Знание основных теорем дифференциального исчисления: теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Умение использовать их при решении задач.
• Знание строгого определения и свойств элементарных функций. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
• Знание теорем о приведении диффеоморфизма к каноническому виду и о разложении в произведение простейших и их доказательств.
• Знание условий сходимости двойных рядов и условий возможности перестановки сумм в повторных рядах.
• Знание формулировки и доказательства одномерной теоремы о неявной функции.
• Знание формулировок теорем о среднем для функций многих переменных и умение их применять при решении задач.
• Знание, что такое определенный интеграл и когда он определен. Критерии интегрируемости.
• Знание, что такое поверхность в конечномерном пространстве. Умение находить условный экстремум методом множителей Лагранжа.
• Знать доказательство принципа сжимающих отображений, в том числе его параметрического варианта.
• Исследование степенных рядов на сходимость и равномерную сходимость. Умение вычислять радиус сходимости.
• Исследование функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
• Исследование числовых и функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
• Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части.
• Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знакомство с понятием компактности. Компактность множеств на числовой прямой.
• Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
• Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание свойств монотонных функций и непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
• Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение использовать признаки сходимости положительных рядов.
• Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить пределы последовательностей.
• Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить простейшие пределы функций.
• Построение графиков функций и кривых на плоскости, в том числе заданных параметрически и неявно.
• Разложение функций по формуле Тейлора, знание стандартных разложений.
• Свободное решение задач на нахождение пределов, производных, нахождения экстремумов, монотонности и выпуклости функций.
• Умение вычислять длину кривой, заданной параметрически.
• Умение вычислять производные высших порядков по формуле Лейбница.
• Умение доказывать сходимость и расходимость несобственных интегралов.
• Умение использовать теоремы о среднем для интеграла Римана.
• Умение исследовать интегралы, зависящие от параметров.
• Умение находить интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита.
• Умение находить критические точки и локальные экстремумы.
• Умение находить локальные максимумы функций одного переменного.
• Умение находить первообразные от стандартных функций.
• Умение разлагать функцию многих переменных по формуле Тейлора.
• Понимание основных аксиом поля вещественных чисел и аксиомы Архимеда. Умение выводить следствия из аксиом и доказывать утверждения, связанные с вещественными числами. Освоение отличительных свойств натуральных, рациональных и иррациональных чисел. Способность ясно и обоснованно объяснять структуру и свойства множества вещественных чисел
• Понимание и владение определением предела последовательности, критериями сходимости и расходимости. Умение доказывать лемму о двух милиционерах, теорему Вейерштрасса и критерий Коши. Владение понятиями подпоследовательностей, частичных пределов, верхнего и нижнего предела.
• Понимание и применение критериев сходимости числовых рядов. Умение пользоваться признаком Коши и признаками сходимости положительных рядов. Владение примерами важных рядов (геометрическая прогрессия, гармонический ряд). Осведомленность о числе е , его представлении в виде ряда и свойствах иррациональности.
• Четкое понимание и уверенное использование понятия предела функции, односторонних пределов и типов разрывов. Умение применять теоремы о непрерывности, замене переменных и признаках существования пределов. Владение глобальными свойствами непрерывных функций, такими как ограниченность, теорема о промежуточном значении и сохранение компакта. Освоение важнейших элементарных функций, их свойств и связи с непрерывностью.
• Понимание и умение вычислять производные и дифференциалы функций. Владение правилами дифференцирования сложных, параметрических и неявных функций. Уверенное применение теорем Ферма, Ролля, Лагранжа и правила Лопиталя. Знание производных высших порядков, формулы Тейлора и остаточного члена, умение раскрыть неопределённости.
• Понимание и применение понятия функции многих переменных. Определение и исследование пределов функций нескольких переменных. Оценка непрерывности функций многих переменных в точке и на множестве.
• Понимание смысла и основных свойств неопределённого интеграла. Владение полным набором классических методов интегрирования и способностью выбрать оптимальный метод для конкретной задачи. Умение устанавливать интегрируемость функций, оценивать значения интегралов и применять специальные функции. Возможность уверенно решать сложные задачи интегрирования, использовать неравенства и специализированные методы
• Освоение понятий и методов дифференцирования отображений из R n R n в R k R k . Умение применять теоремы о среднем и принципе сжимающих отображений. Понимание теорем о неявных и обратных функциях, достаточных условий дифференцируемости и градиенте. Владение понятием ранга отображения, классификацией отображений постоянного ранга и условиями экстремума функций многих переменных. Освоение теории условных экстремумов, леммы Морса и основ теории поверхностей.

Содержание учебной дисциплины

• I. I. Элементы теории вещественных чисел.
• I.II. Элементы общей топологии.
• I.III. Теория числовых последовательностей.
• I.IV. Элементы теории числовых рядов.
• I.V. Теория непрерывных функций одной переменной.
• I.VI. Элементы дифференциального исчисления.
• I.VI. Теория экстремумов функции одной одной переменной.
• I.VII. Элементы теории функции многих переменных*.
• II.I. Числовые и функциональные ряды
  Понимание и умение исследовать знакопеременные числовые ряды, бесконечные произведения и перестановки членов ряда. Владение понятием функциональных рядов и критерием равномерной сходимости. Умение производить операции над рядами, включая двойные и повторные ряды, степенные ряды и аналитические функции.
• II.II. Неопределенный интеграл и интеграл Римана
• II.III. Функции многих переменных.

Элементы контроля

• Домашнее задание
• Контрольная работа
• Коллоквиум
• Экзамен
• Домашнее задание
• Контрольная работа
• Колллоквиум
• экзамен

Промежуточная аттестация

• 2025/2026 2nd module
  0.2 * Домашнее задание + 0.3 * Коллоквиум + 0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Экзамен
• 2025/2026 4th module
  0.2 * Домашнее задание + 0.3 * Колллоквиум + 0.2 * Контрольная работа + 0.3 * экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1: ., Фихтенгольц, Г. М., 2003
• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2: ., Фихтенгольц, Г. М., 2001
• Лекции по математическому анализу, Львовский, С. М., 2008

Рекомендуемая дополнительная литература

• Математический анализ. Ч.1: ., Зорич, В. А., 2007
• Математический анализ. Ч.2: ., Зорич, В. А., 1998
• Основы математического анализа, Рудин, У., 2002

Авторы

• Медведев Владимир Олегович
• Богачев Владимир Игоревич
• Шилин Иван Сергеевич