Бакалавриат
2025/2026
Математический анализ 2
Статус:
Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
76
Программа дисциплины
Аннотация
Курс является продолжением курсов математического анализа (1 курс) и курса «Введение в теорию меры». Он преимущественно посвящён изучению бесконечномерных пространств, снабженных топологией и их базисов, в первую очередь функциональных пространств, таких, как L_1 и L_2.Мы изучим возможность разложения функции по ортонормированным базисам (ряды Фурье), в том числе по классической ортогональной тригонометрической системе. Представление функции в виде ряда Фурье будет применено к решению краевых задач для классических уравнений математической физики, описывающих такие явления природы, как колебания струны, теплопроводность и др.
Планируемые результаты обучения
- Знкакомство с основными понятиями теории нормированных пространств
- Знакомство с базовыми свойствами евклидовых пространств
- Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
- Знакомство с гильбертовыми пространствами
- Знакомство с пространствами L1 и L2.
- Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение.
- Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение .
- Знакомство с задачами Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций.
- Применение интеграла Фурье.
- Преобразования Фурье. Свойства и применения
- Выработка навыков работы с преобразованием Фурье обычных и обобщенных функций.
Содержание учебной дисциплины
- Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
- Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
- Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
- Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
- Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
- Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
- Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
- Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
- Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
- Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
- Решение методом Фурье одномерного уравнения теплопроводности на отрезке.
- Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
- Решение методом Фурье уравнения упругих колебаний струны.
- Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций.
- Интеграл Фурье. Теорема об обращении. Интеграл Фурье в комплексной форме.
- Преобразование Фурье в пространстве L1(R).
- Преобразование Фурье в пространстве Шварца и его свойства. Свертка функций.
- Применение преобразования Фурье для решения уравнения теплопроводности в R^1. Формула Пуассона.
- Решение уравнения теплопроводности в R^n. Решение уравнения упругих колебаний бесконечной струны с помощью преобразования Фурье.
- Преобразование Фурье свертки функций. Преобразование Фурье в пространстве L2(R). Теорема Планшереля.
- Преобразование Фурье.
Промежуточная аттестация
- 2025/2026 2nd module0.3 * Коллоквиум + 0.15 * Контрольные + 0.15 * Контрольные + 0.4 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Элементы теории функций и функционального анализа, [учебник], 7-е изд., 570 с., Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В., 2017
- Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006
- Элементы функционального анализа, Люстерник, Л. А., 1951
- Элементы функционального анализа, Люстерник, Л. А., 1965
Рекомендуемая дополнительная литература
- Краткий курс функционального анализа : учеб. пособие, Люстерник, Л. А., 2009
- Элементы теории функций и функционального анализа : учебник для вузов, Колмогоров, А. Н., 1989
- Элементы теории функций и функционального анализа : учебник, Колмогоров, А. Н., 1976
- Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2009