Бакалавриат 2025/2026

Дифференциальные уравнения

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Алфимов Михаил Николаевич, Меновщиков Александр Викторович, Пятов Павел Николаевич, Сапонов Павел Алексеевич, Сивкин Владимир Николаевич, Спиридонов Вячеслав Павлович, Шилин Иван Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 76

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящён основам теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включает в себя изучение общей теории ДУ (теоремы существования и единственности, зависимость от параметров), линейных ДУ, устойчивости решений.

Цель освоения дисциплины

• Освоение основных теорем базовых разделов теории дифференциальных уравнений (теорем существования и единственности, теории линейных систем, теория устойчивости)
• Освоение основных методов для явного решения и качественного исследования дифференциальных уравнений

Планируемые результаты обучения

• Знание общих свойств линейных ОДУ (продолжимость решений, независимость решений в точке и в целом, уравнение Лиувилля-Остроградского). Умение применять их для анализа конкретных линейных ОДУ.
• Знание основных свойств операторов Коши и преобразований потока. Умение вычислять их в простейших случаях.
• Знание примеров ОДУ, где отсутствует продолжимость решений на всю область определения правой части
• Знание результатов, связывающих локальное поведение системы и её линеаризации. Умение их применять к анализу конкретных ДУ.
• Знание условий дифференцируемости решения ОДУ по параметрам и началым условиям. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
• Знание условий непрерывной зависимости решения ОДУ от параметров и начальных условий. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
• Знание условий существования и единственности решения ОДУ. Умение применить их к исследованию конкретных ОДУ.
• Знание утверждений о продолжимости решений ОДУ. Применение их в исследовании конкретных ОДУ.
• Умение дифференцировать и искать разложения Тейлора решения конкретных ОДУ по параметрам и начальным условиям.
• Умение производить для конкретных ОДУ переход от уравнений высокого порядка к системам, от неавтономных систем к автономным и выполнять простейшие преобразования фазовых координат и времени
• Умение решать линейные ДУ и системы с постоянными коэффициентами, вычислять матричную экспоненту. Умение решать неоднородные линейные ОДУ, в том числе с квазимногочленами в правой части.
• Умение решать ОДУ с разделяющимися переменными. Умение применять различные методы для сведения различных классов ОДУ (однородные уравнения и др.) к уравнениям с разделяющимися переменными.

Содержание учебной дисциплины

• Элементарные свойства ОДУ и систем
• Теорема о существовании и единственности решений ОДУ
• Продолжение решений ОДУ
• Непрерывная зависимость решений ОДУ от параметров и начальных условий
• Оператор Коши и группа потока ОДУ
• Метод разделения переменных
• Гладкая зависимость решений ОДУ от параметров
• Общие свойства линейных ОДУ и их систем
• Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы
• Локальная теория дифференциальных уравнений вблизи особой точки
• Устойчивость решений дифференциальных уравнений.

Элементы контроля

• Домашнее задание
  Сдаются в письменном виде один раз в две-три недели закрепленному за студентом учебному ассистенту на электронную почту в виде единого PDF-файла.
• Семинары
  В конце каждого занятия проводится небольшая проверочная работа ("пятиминутка") по материалу этого занятия. Оценка за "Семинары" складывается из оценок за пятиминутки. Если по расписанию два практических занятия в один день (две пары), то пятиминутка в этот день проводится только одна.
• Коллоквиум
  Проводится в сессию 1 модуля по изученному к этому моменту на лекциях теоретическому материалу
• Контрольная работа
  Проводится в конце первого модуля или в начале второго. Состоит из задач по темам, разобранных на семинарах к моменту проведения.
• Экзамен
  Письменный экзамен. Состоит из задач по темам, разобранным на семинарах в течение семестра, а также по материалу лекций.

Промежуточная аттестация

• 2025/2026 2nd module
  Накоп.оценка = 0.15 х ДЗ + 0,35 х Семинары + 0,25 х Коллоквиум +0,25 х Контр.раб 1 мод. Отдельные слагаемые и вся накопленная оценка не округляются. Итоговая оценка за курс (для не получивших досрочную оценку) выставляется по формуле: Итог = 0,6 х Накоп. оценка +04 х Экзамен 2 мод. со следующим правилом округления: оценка ниже 4 округляется вниз (3,957→3), оценка 4 и выше округляется до ближайшего целого, не превосходящего 10: [4,4,5) → 4, [n−0,5,n+0,5) → n при n=5,...,9, [9,5,+∞) → 10.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Обыкновенные дифференциальные уравнения : задачи и примеры с подробными решениями: учеб. пособие для вузов, Краснов, М. Л., 2002
• Обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Арнольд, В. И., 1984
• Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах : учебное пособие, Пантелеев, А. В., 2001
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, Арнольд, В. И., 2000
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, Федорюк, М. В., 2003

Рекомендуемая дополнительная литература

• Вся высшая математика. Т.3: Теория рядов; Обыкновенные дифференциальные уравнения; Теория устойчивости, Краснов, М. Л., 2005
• Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : учебник для мех.-мат. фак. ун-тов, Петровский, И. Г., 1970
• Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями, Егоров, А. И., 2005
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, Понтрягин, Л. С., 2001

Авторы

• Сапонов Павел Алексеевич
• Клименко Алексей Владимирович
• Ильяшенко Юлий Сергеевич
• Шилин Иван Сергеевич