Бакалавриат
2025/2026
Алгебра
Статус:
Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1-3 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Программа дисциплины
Аннотация
Алгебра является языком современной математики. Алгебраические структуры используются в геометрии, анализе, математической физике и других основных направлениях современной математики.В курсе Алгебры мы изучим основные понятия и концепции (кольца, поля, группы), необходимые для любого активно работающего математика.
Цель освоения дисциплины
- Цель изучения дисциплины Алгебра 1 состоит в освоении базовых конструкций теории коммутативных колец, теории полей, линейной алгебры и теории групп. Предполагается, что студент, освоивший дисциплину, сможет уверенно пользоваться теоретическими основами теории и применять их для решения математических задач различного происхождения, использующих алгебраические структуры.
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с классификация конечнопорожденных абелевых групп. Понимание структуры модулей над евклидовыми кольцами.
- Знание основ теории колец многочленов от нескольких переменных.
- Знание основных опеределений и конструкций теории симметрических многочленов. Знакомство с основными приложениями.
- Знание основных определений и примеров, умение строить конечные поля.
- Знание основных понятий и конструкций линейной алгебры: векторные пространства, линейные отображения, двойственные пространства, определители.
- Знание формулировок и доказательств теорем Гильберта о базисе и об инвариантах. Знакомство с основными приложениями.
- Освоение алгоритма Евклида, умение находить наибольший общий делитель элементов кольца.
- Освоение базовых определений и конструкций теории групп: подгруппы, нормальные делители, классы смежности, факторгруппы. Умение строить и описывать действия групп на множествах.
- Умение работать с кольцами вычетов, умение пользоваться фактор конструкциями.
Содержание учебной дисциплины
- Кольца вычетов
- Поля
- Многочлены многих переменных.
- Симметрические многочлены и их приложения.
- Модули над евклидовыми кольцами.
- Метод Гаусса в области главных идеалов
- Кольца и поля частных
- Группы
- Эрмитовы векторные пространства
- Кватернионы
Элементы контроля
- активность на семинарах первого семестра (S12)Активность каждого студента на практических занятиях оценивается из 100 баллов по критериям, которые учитывают посещаемость, выходы к доске и домашние задания.
- активность на семинарах третьего модуля (S3)Активность каждого студента на практических занятиях оценивается из 100 баллов по критериям, которые учитывают посещаемость, выходы к доске и домашние задания.
- контрольные работы в первом и втором модуле (K12)письменные контрольные работы
- контрольные работы в третьем модуле (K3)письменные контрольные работы
- задачи для самостоятельного решения в первом и втором модулях (L12)Листочки с задачами для самостоятельного решения. Решения записываются и рассказываются устно преподавателю. Количество подходов по каждой задаче не ограничено. Задачи можно решать в любом порядке и сдавать вплоть до официального начала зимней сессии.
- задачи для самостоятельного решения в третьем модуле (L3)Листочки с задачами для самостоятельного решения. Решения записываются и рассказываются устно преподавателю. Количество подходов по каждой задаче не ограничено. Задачи можно решать в любом порядке и сдавать вплоть до официального начала весенней сессии после третьего модуля.
- Устный экзамен за первый и второй модули (E12)Устный экзамен. В билете на экзамене два теоретических вопроса по 30 баллов и задача 30 баллов. Дополнительные 10 баллов студент может получить за блестящий ответ на экзамене выходящий за рамки программы экзамена.
- Устный экзамен, третий модуль (E3)Устный экзамен. В билете на экзамене два теоретических вопроса по 30 баллов и задача 30 баллов. Дополнительные 10 баллов студент может получить за блестящий ответ на экзамене выходящий за рамки программы экзамена.
Промежуточная аттестация
- 2025/2026 2nd moduleНа итоговую оценку за 1 семестр влияют: оценка S12 за активность на семинарах, которую по 100-бальной шкале ставит ведущий семинары преподаватель, L12 = 100*(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач) из задач для самостоятельного решения в первом семестре, K12 = 100*(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач) в контрольных работах первого семестра, E12 оценка за устный экзамен в зимнюю сессию. В билете на экзамене два теоретических вопроса по 30 баллов и задача 30 баллов. Дополнительные 10 баллов студент может получить за блестящий ответ на экзамене выходящий за рамки программы экзамена. Итоговая оценка вычисляется по формуле min(10,(S12+L12+K12+E12)/34) и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
- 2025/2026 3rd moduleНа итоговую оценку за 3ий модуль и за весь курс влияют: оценка S3 за активность на семинарах в третьем модуле, которую по 100-бальной шкале ставит ведущий семинары преподаватель, L3 = 100*(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач) из задач для самостоятельного решения, K3 = 100*(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач) в контрольных работах третьего модуля, E3 это оценка за устный экзамен в сессию после третьего модуля. В билете на экзамене два теоретических вопроса по 30 баллов и задача 30 баллов. Дополнительные 10 баллов студент может получить за блестящий ответ на экзамене выходящий за рамки программы экзамена. Итоговая оценка вычисляется по формуле min(10,(S3+L3+K3+E3)/34) и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
