Бакалавриат 2025/2026

Гладкие многообразия

Статус: Курс обязательный (Математика)

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Басалаев Алексей Андреевич, Горинов Алексей Геннадьевич, Дунин-Барковский Петр Игоревич, Клименко Алексей Владимирович, Побережный Владимир Андреевич

Язык: русский

Контактные часы: 180

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина “Гладкие многообразия” посвящена аналитическим и геометрическим аспектом теории гладких многообразий. В результате прохождения курса студенты должны владеть понятиями, изучаемыми в курсе, а также применять их для выполнения операций анализа функций, заданных на многообразии.

Цель освоения дисциплины

• Освоение аналитических и геометрических аспектов теории гладких многообразий.

Планируемые результаты обучения

• Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм в R^n и на поверхностях в R^n. Знакомство с конструкцией разбиения единицы.
• Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм на многообразиях. Знакомство с интегрированием дифференциальных форм.
• Знакомство с определением и основными свойствами когомологий де Рама и доказательством их гомотопической инвариантности. Знакомство с леммой Пуанкаре и ее доказательством.
• Знакомство с определением и свойствами производной Ли и дифференциальных идеалов.
• Знакомство с определением многообразий с краем. Знакомство с формулой Стокса и ее следствиями.
• Знакомство с определением многообразий с помощью атласов, подмногообразий и морфизмов многообразий.
• Знакомство с тремя определениями касательного вектора. Знакомство с определением дифференциала отображения, векторных полей, касательного расслоения, коммутаторов векторных полей.

Содержание учебной дисциплины

• Кривые и поверхности в R^n
• Определение многообразия
• Касательные пространства и векторные поля
• Дифференциальные формы на R^n
• Дифференциальные формы на многообразиях
• Формула Стокса
• Когомологии де Рама
• Производная Ли
• Векторные расслоения. Тензоры

Элементы контроля

• кр-12
• кр-34
• экзамен зима
• экзамен лето
• листки-12
• листки-34
• семинары-12
• семинары-34

Промежуточная аттестация

• 2025/2026 2nd module
  0.14 * кр-12 + 0.14 * кр-12 + 0.14 * листки-12 + 0.14 * листки-12 + 0.14 * семинары-12 + 0.14 * семинары-12 + 0.16 * экзамен зима
• 2025/2026 4th module
  0.14 * кр-34 + 0.14 * кр-34 + 0.14 * листки-34 + 0.14 * листки-34 + 0.14 * семинары-34 + 0.14 * семинары-34 + 0.16 * экзамен лето

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015
• Математический анализ. Т. 2: ., Зорич, В. А., 2015

Рекомендуемая дополнительная литература

• Новиков, С. П. Современные геометрические структуры и поля : учебное пособие / С. П. Новиков, И. А. Тайманов. — Москва : МЦНМО, 2005. — 584 с. — ISBN 978-5-94057-102-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9379 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Современные геометрические структуры и поля, Новиков, С. П., 2005

Авторы

• Хорошкин Сергей Михайлович
• Шварцман Осип Владимирович
• Басалаев Алексей Андреевич