Методы оптимизации

Бакалавриат 2025/2026

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Игнатовская Валерия Анатольевна, Манита Лариса Анатольевна, Румянцева София Васильевна

Язык: русский

Кредиты: 3

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Настоящая дисциплина является дисциплиной базовой части Профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: математический анализ, линейная алгебра и геометрия, дифференциальные уравнения, функциональный анализ, компьютерный практикум. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: · знать основные разделы дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных; · уметь вычислять интеграл Римана от функции одной и нескольких переменных; · уметь работать с матрицами, вычислять определитель матрицы, вычислять собственные значения матрицы; · уметь решать системы уравнений; · уметь решать основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений; · владеть навыками работы с функционалами · уметь вычислять нормы функционалов · уметь работать в системе MatLab, Mathematica; · знать основные методы численного решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин Теория управления, Численные методы, Прикладные стохастические модели, при выполнении выпускной квалификационной работы

Цель освоения дисциплины

Одной из важных задач специалиста в области Прикладной математики является разработка математической модели конкретной проблемы, ее анализ и интерпретация, выбор приемлемого или наилучшего решения. Цели данного курса – развить навыки формализации проблемы в виде оптимизационной задачи, освоение методов нахождения наилучших решений, приобрести навыки применения соответствующего программного обеспечения. Планируемые к изучению разделы: метод множителей Лагранжа в конечномерных задачах оптимизации, динамическое программирование, основы вариационного исчисления и оптимального управления. Будут рассмотрены приложения изученных методов для решения прикладных задач.

Планируемые результаты обучения

Студент должен знать: - необходимые и достаточные условия оптимальности в одномерной задаче без ограничений; - необходимые и достаточные условия оптимальности в многомерной задаче без ограничений; - основные методы исследования знакоопределенных и знакопеременных матриц.
Студент должен знать: - необходимые условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств в форме правила множителей Лагранжа; - достаточные условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств.
Студент должен знать: - понятие целевого функционала, - определения локального и глобального экстремума.
Студент должен знать: -необходимые условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств в форме правила множителей Лагранжа; - достаточные условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств; - условия регулярности для задач с ограничениями в виде равенств.
Студент должен знать: · понятие целевого функционала, определения локального и глобального экстремума; · метод множителей Лагранжа для решения оптимизационных задач; · особенности решения выпуклых задач; · метод динамического программирования; · основные методы вариационного исчисления и оптимального управления;
Студент должен знать: алгоритм решения задачи вариационного исчисления и оптимального управления
Студент должен знать: основные постановки задач динамического программирования; принцип оптимальности Беллмана;
Студент должен иметь навыки: · интерпретации проблем в виде задачи оптимизации, построения формальной математической модели; · разработки плана решения оптимизационной задачи; · применения теории о необходимых и достаточных условиях безусловного и условного экстремума; · применения методов вариационного исчисления и оптимального управления для решения задач; · использования прикладных программ для решения оптимизационных задач.
Студент должен уметь: - исследовать функцию на выпуклость и вогнутость по определению, по надграфику, по второй производной.

Содержание учебной дисциплины

Основные понятия в теории экстремальных задач.
Конечномерные задачи безусловной оптимизации.
Конечномерные задачи условной оптимизации. Метод множителей Лагранжа.
Выпуклая задача оптимизации.
Метод динамического программирования.
Вариационное исчисление и оптимальное управление.

Элементы контроля

ДЗ
В 1-2 модуле предусмотрено несколько домашних заданий (например, методы численной оптимизации, задача динамического программирования, задача линейного программирования и тп). Оценка за ДЗ вычисляется как среднее арифметическое всех оценок, полученных за домашние задания
Аудиторная работа
Контрольная работа 1
«Условия оптимальности в конечномерных задачах с ограничениями в виде равенств и равенств-неравенств». Контрольная работа выполняется в аудитории каждым студентом самостоятельно по одному из вариантов.
Коллоквиум
Если студент пропустил коллоквиум по уважительной причине, то он может сдать его в дополнительный день.
Активность
Экзамен
Контрольная работа 2
Проводится по разделу «Вариационное исчисление». Контрольная работа выполняется в аудитории каждым студентом самостоятельно

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
0.1 * ДЗ + 0.2 * Коллоквиум + 0.15 * Контрольная работа 1 + 0.15 * Контрольная работа 2 + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Манита Лариса Анатольевна

Программа дисциплины