Теория вероятностей

Бакалавриат 2025/2026

Статус: Курс обязательный (Математика)

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Дымов Андрей Викторович, Мариани Мауро, Хохлов Андрей Владимирович

Язык: русский

Кредиты: 7

Контактные часы: 76

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Настоящий курс охватывает основы теории вероятностей. Рассматриваются фундаментальные понятия, такие как вероятность, случайные величины, независимость событий и случайных величин, важные типы распределений и неравенства. Особое внимание уделено законам больших чисел, центральной предельной теореме, многомерному нормальному распределению и условным математическим ожиданиям. Изучается взаимосвязь между различными видами сходимости случайных величин и использование характеристических функций для анализа распределений. Материал предназначен для формирования прочной базы знаний в области теории вероятностей и подготовки к решению прикладных задач.

Цель освоения дисциплины

Глубокое освоение понятийного аппарата и методов анализа случайных величин и событий, включая условные вероятности, независимости, виды распределений и законы больших чисел. Изучение структуры многомерных нормальных распределений, условных математических ожиданий и плотностей, необходимых для эффективного моделирования сложных стохастических процессов. Овладение аппаратом характеристических функций и методологией сходимости случайных величин, позволяющими анализировать поведение произвольных случайных переменных и строить надёжные статистические выводы.

Планируемые результаты обучения

знание концепции вероятностного пространства, основных свойств вероятности и умение описывать непрерывность вероятности снизу и сверху, демонстрируя понимание их взаимосвязи и применимости в решении задач теории вероятностей.
знание условной вероятности, умение применять формулу полной вероятности и теорему Байеса для решения задач
знание попарной и совокупной независимости событий, умение формулировать и применять вероятностную модель для независимых испытаний, что позволит эффективно решать задачи, связанные с многократными случайными экспериментами
знание двух лемм Бореля-Кантелли и применение их для анализа бесконечной последовательности случайных событий, умение делать выводы о вероятности наступления почти наверное некоторых событий.
знание основных типов распределений случайных величин (дискретные, абсолютно непрерывные и непрерывные сингулярные), умение выделять дискретную, непрерывную сингулярную и абсолютно непрерывную компоненты распределения, знание понятия плотности распределения и умение вычислять плотность компонент случайного вектора, зная совместное распределение.
Освоение понятия функции распределения случайной величины, её основных свойств, установление связи между функцией распределения и плотностью абсолютно непрерывной случайной величины. Изучение конструкции функции распределения для случайного вектора
Освоение понятия независимости случайных величин, изучение совместных распределений, плотностей и функций распределения независимых случайных величин. Овладение методом вычисления плотности суммы независимых абсолютно непрерывных случайных величин и приобретение навыков построения независимых случайных величин.
Освоение и понимание других характеристик случайных величин, таких как дисперсия, высшие моменты, ковариация, коэффициент корреляции, а также статистических показателей — медианы и квантилей, изучение их свойств и применение в теории вероятностей.
Освоение понятия производящей функции целочисленных неотрицательных случайных величин, изучение методов вычисления математического ожидания и дисперсии через производящую функцию, а также понимание свойств производящих функций для суммы независимых случайных величин, включая ситуации, когда число слагаемых случайно.
Освоение важнейших дискретных распределений случайных величин: распределение Бернулли, биномиальное распределение и его связь с распределением Бернулли, распределение Пуассона и теорема Пуассона, геометрическое распределение.
Освоение важнейших непрерывных распределений случайных величин: равномерное, нормальное (гауссовское), экспоненциальное (показательное) и распределение Коши.
Изучение и освоение основных неравенств теории вероятностей: неравенство Коши-Буняковского, неравенство Йенсена, неравенство Маркова, неравенство Чебышёва, а также неравенство Хёфдинга для случая одинаково распределённых и независимых случайных величин.
Освоение закона больших чисел в форме Чебышёва, понимание его применения в задачах статистики и теории вероятностей. Изучение метода Монте-Карло для численного моделирования и приближённых вычислений. Овладение вероятностным подходом к доказательству теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
Освоение различных типов сходимости случайных величин.
Освоение слабой сходимости мер и сходимости случайных величин по распределению, изучение теоремы Портманто и теоремы Прохорова, а также понимание связи между сходимостью по распределению и сходимостью функций распределения.
Освоение характеристических функций и их свойств, теоремы обращения, изучение характеристической функции случайного вектора и понимание связи характеристических функций с независимостью случайных величин.
Освоение связи между сходимостью случайных величин по распределению и сходимостью их характеристических функций.
знание законов больших чисел в форме Хинчина, центральной предельной теоремы и усиленного закона больших чисел для независимых одинаково распределённых случайных величин. Умение применять эти законы для анализа случайных процессов и оценки статистической устойчивости.
Освоение студентами понятия многомерного нормального распределения, включая три эквивалентных определения, форму плотности в невырожденном случае и понимание связи между некоррелированностью и независимостью компонент многомерных гауссовских векторов.
Понимание концепции условных математических ожиданий и вероятностей относительно сигма-алгебр, усвоение теоремы существования, методики вычислений условных характеристик относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной, и изучение свойств условной плотности распределения случайного вектора в абсолютно непрерывном случае.
Освоение понятия математического ожидания случайной величины, изучение его свойств и выражения через интеграл по распределению. Изучение частных случаев математического ожидания для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин, а также свойства математического ожидания произведения независимых случайных величин.

Содержание учебной дисциплины

1. Вероятностное пространство.
2. Условная вероятность.
3. Независимость событий.
4. Леммы Бореля-Кантелли.
5. Случайные величины и их распределения.
6. Функции распределения и их свойства.
7. Независимость случайных величин.
8. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
9. Другие характеристики случайных величин и их свойства.
10. Производящая функция целочисленной неотрицательной случайной величины.
11. Важнейшие дискретные распределения.
12. Важнейшие непрерывные распределения.
13. Неравенства.
14. Закон больших чисел в форме Чебышёва.
15. Типы сходимостей случайных величин и их связи: почти наверное, в Lp, по вероятности, по распределению.
16. Слабая сходимость мер и сходимость случайных величин по распределению.
17. Характеристические функции и их свойства.
18. Связь сходимости по распределению с характеристическими функциями.
19. Закон больших чисел в форме Хинчина и центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
20. Многомерное нормальное распределение.
21. Условные мат. ожидания и вероятности относительно сигма-алгебр.

Элементы контроля

Маленькие контрольные работы
Маленькие контрольные работы
Большая контрольная работа
Письменная работа
Экзамен
Листочки
Каждый листок оценивается в 1 балл и входит в НАКОП
Тест
Проводится для тех студентов, которые не пойдут на экзамен в декабре, и проверяет, что они обладают минимальным уровнем знаний.

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
0 <= НАКОП <= 11 складывается из: - 6 «маленьких» контрольных, каждая стоит 1 балл, оценка выставляется по 5 лучшим (итого максимум можно набрать 5 баллов). Предварительные даты контрольных: 12 и 26 сентября; 10 октября; 14 и 28 ноября; 12 декабря. - большая контрольная в сессию 25-31 октября, стоит 2 балла - 3 листочка, каждый стоит 1 балл - бонус за активную работу, до 1 балла Если 3.5 <= НАКОП < 5, то ИТОГ = стандартное округление (НАКОП), при условии сдачи теста на минимально допустимый уровень знаний. При несдаче теста — пересдача в январе. Если НАКОП >= 5, то ИТОГ = -- 5, если студент отказывается от экзамена, но сдает тест на минимально допустимый уровень знаний. Если не сдает — пересдача в январе. -- стандартное округление ( НАКОП * 2/3 + ЭКЗ /3 ), если студент соглашается на экзамен, где -3 <= ЭКЗ <= 10 В исключительных случаях экзамен может дать больше, но при незнании ответов на вопросы из теста на минимально допустимый уровень знаний вся оценка аннулируется и студент отправляется на пересдачу в январе. К примеру, если студент совсем не знает главного результата курса — Центральной Предельной Теоремы. Если НАКОП < 3.5, то ИТОГ = ЭКЗ, где ЭКЗ <= 4

Список литературы

Авторы

Колесников Александр Викторович
Мариани Мауро
Клименко Алексей Владимирович
Дымов Андрей Викторович
Хохлов Андрей Владимирович

Программа дисциплины