Теория вероятностей и статистика

Бакалавриат 2025/2026

Статус: Курс обязательный (Мировая экономика)

Кто читает: Департамент прикладной экономики

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Засыпко Вероника Владимировна, Шведов Алексей Сергеевич, Языков Артем Анатольевич

Язык: русский

Контактные часы: 80

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

В рамках данного курса студенты изучают основные определения, концепции и теоремы теории вероятностей и математической статистики, а также учатся решать задачи с использованием соответствующего инструментария. Полученные знания могут быть применены для освоения различных дисциплин, связанных с анализом данных, включая эконометрику и машинное обучение.

Цель освоения дисциплины

Сформировать у студентов представления о базовых понятиях, теоремах и концепциях теории вероятностей и математической статистики
Научить участников курса использовать понятия, концепции и теоремы теории вероятностей и математической статистики для решения теоретических и прикладных задач
Ознакомить обучающихся с основными сферами приложения теории вероятностей и статистики
Обучить студентов использовать и строить статистические и вероятностные модели, а также применять их для анализа данных
Подготовить студентов к изучению курсов, связанных с анализом данных, включая эконометрику и машинное обучение

Планируемые результаты обучения

Обучающийся может применять формулу объединения событий и формулу вероятности обратного события для решения задач; может сформулировать основные свойства функции вероятностей; способен совершать базовые операции над событиями, такие как пересечение, объединение и вычитание.
Студент способен сформулировать основные понятия теории вероятностей, такие как случайный эксперимент, пространство элементарных событий (для случая счетного числа элементарных исходов), пространство событий, случайное событие, достоверное событие, невозможное событие, несовместные события, обратное событие, функция вероятности; умеет искать вероятность события исходя из вероятностей соответствующих ему элементарных исходов.
Обучающийся умеет использовать следующие формулы для решения задач: формула пересечения событий, формула полной вероятности, формула условной вероятности и формула Байеса; может сформулировать следующие понятия: условная вероятность, полная группа событий, попарная несовместность событий, независимость событий (попарная и в совокупности).
Обучающийся способен сформулировать свойства функции вероятностей и функции распределения дискретной случайной величины; способен решать задачи на распределение дискретных случайных величин; способен сформулировать определение дискретной случайной величины, а также ее распределения (в том числе условного), функции вероятностей, функции распределения и носителя.
Студент умеет задавать распределение (в том числе условное) дискретной случайной величины при помощи функции вероятностей и таблицы, а также строить функцию распределения; может задать распределение (в том числе условное) функции от дискретной случайной величины.
Студент умеет считать условные и безусловные моменты для дискретных случайных величин и функций от них (в том числе математическое ожидание и дисперсию), а также применять соответствующие навыки для решения задач.
Обучающийся умеет проверять независимость дискретных случайных величин; умеет задавать совместное распределение (в том числе условное) дискретных случайных величин при помощи совместной функции вероятностей и таблицы, а также считать с его помощью вероятности и ковариацию; умеет находить маржинальное распределение дискретной случайной величины.
Студент способен описать параметры и сформулировать основные характеристики (моменты, функция вероятностей, функция распределения и носитель) распределения Бернулли, Биномиального распределения, распределения Пуассона, геометрического распределения и мультиномиального распределения, а также применять изученные ранее формулы для дискретных случайных величин в отношении соответствующих распределений.
Обучающийся способен построить функцию распределения и функцию плотности для непрерывной случайной величины, а также пользоваться свойствами соответствующих функций; умеет считать вероятности и моменты (в том числе условные) для непрерывных случайных величин; умеет находить и использовать распределение функции от непрерывной случайной величины.
Студент может сформулировать и применять основные свойства нормального распределения.
Обучающийся умеет задавать и применять совместное распределения непрерывных случайных величин (в том числе условное); способен найти маржинальное распределения непрерывной случайной величины и его характеристики; умеет считать ковариацию между непрерывными случайными величинами; умеет строить совместную функцию распределения и совместную функцию плотности (в том числе условные) непрерывных случайных величин, а также использовать свойства соответствующих функций.
Обучающийся умеет применять неравенство Маркова и неравенство Чебышева для решения задач.
Обучающийся способен применять закон больших чисел для решения задач; умеет решать задачи на сходимость по вероятности и брать предел по вероятности.
Обучающийся способен решать задачи на сходимость по распределению; умеет применять центральную предельную теорему для решения задач.
Обучающийся способен решать задачи на распределение порядковых статистик и выборочной функции распределения; умеет, с использованием выборки, строить вариационный ряд, выводить выборочную функцию распределения и гистограмму, а также находить экстремальные статистики.
Обучающийся формулирует свойства хи-квадрат распределения, распределения Стьюдента и распределения Фишера, их основные характеристики.
Обучающийся способен решать задачи, требующие найти распределение статистической оценки; способен проверять свойства оценок: несмещенность, состоятельность и эффективность; может найти распределение (в том числе асимптотическое) некоторых выборочных моментов.
Студент умеет применять метод моментов для получения статистических оценок, а также пользоваться свойствами оценок метода моментов.
Студент умеет оценивать параметры распределения и функции от этих параметров с помощью метода максимального правдоподобия, а также пользоваться основными свойствами оценок данного метода.
Обучающийся умеет строить неравенство Рао–Крамера и делать вывод об асимптотической эффективности оценок; умеет находить и оценивать информацию Фишера и с ее помощью вычислять и оценивать асимптотическую дисперсию оценок метода максимального правдоподобия.
Обучающийся умеет решать задачи на доверительные интервалы, в частности, на построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии в случае выборки из нормального распределения с одним известным параметром; может сформулировать определение доверительного интервала.
Студент умеет решать задачи на построение асимптотических доверительных интервалов и может сформулировать их отличие от обычных доверительных интервалов; умеет строить асимптотические доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии, доли, разницы математических ожиданий, разницы долей и отношений дисперсий, а также для параметров, оцененных при помощи метода максимального правдоподобия.
Студент анализирует методологию проверки статистических гипотез применительно к конкретным прикладным задачам; рассчитывает значения статистик и критические области, делает выводы о принятии или непринятии гипотез; строит эмпирические функции распределения для статистических данных.
Обучающийся умеет, исходя из контекста задачи, формулировать нулевую и альтернативную гипотезы, выбирать статистический тест, позволяющий протестировать соответствующие гипотезы, вычислить уровень значимости и мощность данного теста, а также делать вывод о наличии статистических свидетельств в пользу той или иной гипотезы.
Обучающийся способен применять тесты о математическом ожидании, дисперсии, доле (вероятности), разнице математических ожиданий и разнице долей (вероятностей).
Участник курса умеет применять критерий хи-квадрат Фишера (о распределении и о независимости) и критерий Колмогорова – Смирнова.
Студент умеет применять тест отношения правдоподобия, тест множителей Лагранжа и тест Вальда.

Содержание учебной дисциплины

Дискретное вероятностное пространство, условная вероятность, дискретные случайные величины
Моменты дискретных случайных величин, совместное распределение дискретных случайных величин, основные дискретные распределения
Непрерывные случайные величины, нормальное распределение, совместное распределение непрерывных случайных величин
Неравенство Маркова и неравенство Чебышева, закон больших чисел, центральная предельная теорема
Выборка и ее основные характеристики, статистические оценки и их свойства
Метод моментов, метод максимального правдоподобия, информация Фишера
Доверительные интервалы, асимптотические доверительные интервалы
Общая схема проверки статистических гипотез, проверка гипотез об ожидании, дисперсии и доле
Проверка гипотез о распределении и гипотез о независимости, тест отношения правдоподобия, тест Вальда и тест множителей Лагранжа

Элементы контроля

Домашнее задание 1
Контрольная работа 1
Домашнее задание 2
Контрольная работа 2 (экзамен)

Промежуточная аттестация

2025/2026 2nd module
0.15 * Домашнее задание 1 + 0.15 * Домашнее задание 2 + 0.3 * Контрольная работа 1 + 0.4 * Контрольная работа 2 (экзамен)

Список литературы

Авторы

Шведов Алексей Сергеевич

Программа дисциплины