2025/2026

Дополнительные главы математического анализа

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент математики

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Гордин Владимир Александрович

Язык: русский

Контактные часы: 90

Программа дисциплины

Аннотация

Алгебраические уравнения встречаются на каждом шагу. Примеров рассмотрим много. Но не каждое такое уравнение имеет вещественное решение, например, x^2+1=0. А вот комплексных решений у уравнения P_n(x)=0 c учетом их возможной кратности существует ровно n, где n – степень уравнения. Это утверждает Основная теорема алгебры. Если n≤4, то корни находятся по известным формулам, которые используют четыре арифметических действия и извлечение корней. Для уравнений более высокой степени такой общей формулы не существует и не может существовать, - это следует из теории Эвариста Галуа. Зато можно эти корни найти с любой точностью на компьютере, - постепенно к ним приближаясь. Простейший вариант – решение квадратного уравнения методом Герона Александрийского (метод, кстати, старше самого Герона не менее, чем на пять веков). Алгебраическими уравнениями дело не ограничится, будем решать методом Ньютона уравнения более общего вида – уметь бы вычислять функцию и ее первую производную, а остальное быстро сделает компьютер. Если начать приближаться к решению с небольшого расстояния, то очень быстро погрешность станет исключительно маленькой. А вот если издалека – тут возможны различные эффекты. Например, исключительной красоты фракталы – на компьютере их получим сами. Затем научимся решать и системы уравнений с несколькими неизвестными. Для этого потребуются матрицы Якоби. Нужно будет находить решения уравнений и систем, зависящие от параметров. Мы изучим методы интерполяции – как по значениям функции в дискретные моменты времени приближенно оценить ее значения в промежуточные моменты. Если эти значения известны с некоторой погрешностью (шумом), то к какой погрешности это приведет у проинтерполированной функции (иногда такие последствия бывают катастрофическими). Сплайны оказываются намного «устойчивее» к шумам, чем многочлены. Мы рассмотрим различные динамические системы, которые изменяются «по шагам», т.е. с дискретным временем. Размножение популяций с учетом специфики рождаемости и смертности для возрастов. Конечно-разностные уравнения позволяют производить оценки и расчеты. А заодно можно оценивать результаты случайных блужданий по сеткам и решеткам или вероятности выигрыша в игре с постоянной суммой. Помимо решения уравнений матанализ помогает находить экстремумы функций, в том числе и зависящих от многих переменных. Мы выясним, какие бывают «типичные» минимумы и максимумы, что значит «типичный», и насколько редко встречаются нетипичные. И как искать экстремум не среди всех значений параметров, а только среди тех, которые удовлетворяют дополнительным условиям – метод множителей Лагранжа весьма эффективен. А что можно сказать о функции, если известны ее несколько производных в одной точке? Ряд Тейлора иногда весьма хорош, но он имеет некоторые препятствия к сходимости в больших областях. А вот рациональные аппроксимации, придуманные Эрмитом и Паде в конце XIXв часто оказываются намного эффективнее, причем в самых неожиданных приложениях. Мы изучим общие свойства поверхностей и векторных полей, научимся вычислять циркуляцию, дивергенцию и т.п. Оказывается, что свойства векторных полей и дифференциальных форм на поверхностях или в областях могут быть удивительным образом связаны с топологией этих геометрических объектов. Например, с количеством дырок в головке сыра. Расстояния между числами и векторами мы умеем вычислять – теорема Пифагора помогает. Причем не только в R^2 и R^3, но и в пространствах большой или даже бесконечной размерности. Оказывается, такие объекты очень полезны и для обработки больших массивов информации, и для изучения процессов в сложных системах. Мы рассмотрим весьма общие объекты, между которыми можно и полезно вычислять расстояние. Например, расстояние между словами, между кривыми или между функциями. Мы обсудим аналитические и приближенные методы вычисления интегралов. Оказывается, что и тут выход в комплексную область оказывается эффективным. В компьютерных алгоритмах будем интересоваться зависимостью погрешности от числа арифметических операций – алгоритмы должны быть эффективными.