Специальные разделы матричного анализа (углубленный курс)

Бакалавриат 2024/2025

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Кто читает: Базовая кафедра Института вычислительной математики им. Г.И. Марчука РАН

Когда читается: 3-й курс, 3, 4 модуль

Охват аудитории: для своего кампуса

Язык: русский

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Готовы ли вы поверить, что практически все большие матрицы приближаются матрицам малого ранга? Знаете ли вы, что современная математика имеет дело с разными иногда совсем неочевидными определениями матричных и тензорных рангов? Что вы знаете о влиянии, которое оказали матрицы и тензоры малых рангов на мир математики, как чистой, так и вычислительной? Находя ответы на эти вопросы, в первой части этого курса мы познакомимся с замечательным разнообразием матричных рангов. По сути, мы будем говорить об устойчивости ранга матрицы к возмущениям различной природы. Будут изучены понятия эпсилон-ранга, положительного ранга, знак-ранга, теплицевого ранга, жесткости матриц и др. Нас будут интересовать теоретические и прикладные задачи, связанные с этими понятиями. Значительное внимание будет уделяться вычислительным алгоритмам и их анализу. Будет изучаться связь введенных понятий с теорией приближений, теорией сложности, анализом данных и др. Но что, быть может, еще более важно -- это то, что методы, которыми мы будем пользоваться, почти целиком укладываются в базовый курс алгебры и матричного анализа. Вы, я надеюсь, увидите, как курс алгебры оживет и постепенно превратится в мощный инструмент ваших будущих научных исследований! Во второй части курса мы будем развивать аппарат матричного анализа. Вероятно вы уже слышали о двух теоремах Гершгорина о локализации спектра. Знание только этих безусловно замечательных и вполне элементарных теорем равносильно остановке у подножия горы. Развивая теорию Гершгорина, можно забраться повыше и значительно расширить свое представление о спектральных свойствах матриц. Мы коснемся теории интерполяции для операторов в конечномерных пространствах; опишем унитарно инвариантные нормы. Изучим понятие поля значений и некоторые важные аспекты современной алгебраической теории возмущений.

Цель освоения дисциплины

Цели достигаемые в курсе: 1) развитие методов локализации собственных значений матриц; 2) изучение строения унитарно инвариантных норм; 3) изучение современных методов теории возмущений для собственных и сингулярных пространств конечномерных операторов; 4) теория интерполяции для конечномерных операторов.

Планируемые результаты обучения

познакомить с применением методов матричного анализа в современных исследованиях по вычислительной математике и computer science (в теории сложности алгоритмов и в коммуникационной сложности)
изучить связь устойчивости ранга матриц к возмущениям разной природы с задачами вычислительной математики и теории сложности
изучить методы построения приближений малого ранга и методы восстановления матриц малого ранга в различных нормах
изучить методы получения верхних и нижних оценок на точность приближений малого ранга в спектрально инвариантных нормах
изучить методы построения быстрых вычислительных алгоритмов для матриц, обладающих явными структурами типа теплицевой
познакомить с методами приближений неотрицательных матриц (матриц с неотрицательными элементами) матрицами малого ранга и их приложениями в вычислительных алгоритмах, задачах обработки данных и методах оптимизации
развить аналитический аппарат при работе с матрицами и тензорами

Содержание учебной дисциплины

Эффективность модели малого ранга в науке о больших данных.
Задача об оптимальном чебышевском приближении матрицы матрицами малого ранга.
Крестовые приближения матриц и принцип максимального объема.
Неотрицательный ранг матрицы.
Понятие о жесткости ранга (Rigidity).
Понятие о знак-ранге (sign-rank).
Ранг смещения (теплицев ранг).
Сингулярные числа матриц с малым рангом смещения.
Представление о тензорных рангах (канонический, TT, QTT).
Локализация собственных значений.
Строение спектрально инвариантных норм. Теорема Эккарта-Янга. Неравенства Лидского.
Алгебраическая теория возмущений для собственных и сингулярных пространств.
Элементы теории интерполяции для конечномерных операторов.

Элементы контроля

Домашнее задание 1
Выдается после лекции №3. Содержит 5 задач по темам из лекций 1, 2, 3.
Домашнее задание 2
Выдается после лекции №6. Содержит 5 задач по темам из лекций 4, 5, 6.
Домашнее задание 3
Выдается после лекции №9. Содержит 5 задач по темам из лекций 7, 8, 9.
Домашнее задание 4
Выдается после лекции №12. Содержит 5 задач по темам из лекций 10, 11, 12.
Контрольная работа
Контрольные работа №1. Проводится после 10-ой лекции по материалам лекций 1-9. Содержит 3 задачи. Контрольные работа №2. Проводится после 13-ой лекции по материалам лекций 10,11,12. Содержит 2 задачи.
Экзамен
Экзамен устный. Каждый билет содержит 2 вопроса. Вопрос № 1 по материалам лекций 1-9. Вопрос № 2 по материалам лекций 10-13. При подготовке студенту разрешается пользоваться печатными материалами. Студенту могут быть заданы дополнительные вопросы и задачи на проверку понимания материала.

Промежуточная аттестация

2024/2025 4th module
Итог = Округление(0.4 * ДЗ + 0.3 * КР + 0.3 * Э), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, КР — оценка за контрольную работу, Э — оценка за экзамен.

Программа дисциплины