Численные методы решения параметрических задачматематической физики с использованием глубокогообученияNumerical Methods for Parametric Problems inMathematical Physics Using Deep Learning

В данной диссертации исследуется интеграция методов глубокого обучения с классическими численными методами для решения задач, описываемых уравнениями в частных производных. Работа направлена на разработку подходов, позволяющих повысить вычислительную эффективность при сохранении устойчивости и надежности классических численных схем. Основная идея работы заключается в том, что компоненты, основанные на данных, наиболее полезны, когда они дополняют структуру существующих численных методов, а не заменяют их как «черные ящики». Указанный подход исследуется в трех направлениях: предобуславливание разреженных линейных систем, обучение подпространств для моделей пониженного порядка и ускорение нелинейного моделирования пластовых систем. Для разреженной линейной алгебры предложена коррекционная стратегия, в которой графовая нейронная сеть уточняет классическое неполное разложение. Полученные предобуславливатели улучшают спектральные свойства, важные для сходимости метода сопряженных градиентов, и сокращают время решения на параметрических задачах. Также показано, что стандартные графовые нейронные сети с передачей сообщений имеют принципиальные ограничения при моделировании разреженного треугольного разложения с нелокальными зависимостями. Для моделирования пониженного порядка сформулирована регрессия подпространств на многообразии Грассмана и предложены практические функции потерь для обучения отображений из параметров в подпространства. На численных задачах этот подход строит более точные параметрически зависимые редуцированные пространства и поддерживает гибридные схемы с итерационными методами. Для нелинейных задач моделирования пористых сред разработаны гибридные стратегии инициализации итераций Ньютона, которые используют обновляемые в реальном времени линейные модели или нейронные сети. На примере задачи трехмерного двухфазного течения в пористой среде продемонстрировано снижение числа нелинейных итераций с использование предложенного гибридного подхода.